Matematické Fórum

2M70 · 28. 10. 2018 13:59

Já se polepším :-)

A ještě jednou se omlouvám.

krakonoš · 29. 10. 2018 12:29

↑↑ 2M70:
Postup s 1-delta se pouziva v pripadech,kdy napriklad funkce fn ziskaji stejnou funkcni hodnotu v krajnim bode intervalu,ktera se vsak lisi od hodnoty konvergentni funkce,kterou jsme si odvodili pomoci bodove konvergence.(např fce maji konvergovat k nulove funkci,v krajnim bode ale ziskaji hodnotu 2).Pak lze mluvit o lokalni konvergenci.Musi vsak vzdalenost suprem a konverg funkce jit limitne k nule.To se nedeje v nasem pripade. Zde jsou extremy v bodech nta odmocnina z jedne poloviny,s rostoucim n se posouvaji doprava pro jednotlive funkce.

2M70 · 30. 10. 2018 16:30

Stále přemýšlím nad definicí lokálně stejnoměrné konvergence. Nevím, jestli chápu správně, že je posloupnost funkcí lokálně stejnoměrně konvergentní, když ke každému bodu z bodové konvergence přiřadím určité okolí.

Případně graficky, když vezmu pás o šířce -1/4 < epsilon <1/4, tak funkce "vylézají" ven z tohoto pásu, zatímco při omezení intervalu se tam funkce "vejdou" celé.

MichalAld · 30. 10. 2018 23:35

2M70 napsal(a):
Stále přemýšlím nad definicí lokálně stejnoměrné konvergence. Nevím, jestli chápu správně, že je posloupnost funkcí lokálně stejnoměrně konvergentní, když ke každému bodu z bodové konvergence přiřadím určité okolí.

No a na tom okolí musí funkce konvergovat stejnoměrně. Jde ale o to, že to okolí musí existovat. Nevím, co myslíš tím "určité", není to tak, že by sis ho mohl zvolit, ale že se ti podaří takové najít.

2M70 napsal(a):
Případně graficky, když vezmu pás o šířce -1/4 < epsilon <1/4, tak funkce "vylézají" ven z tohoto pásu, zatímco při omezení intervalu se tam funkce "vejdou" celé.

Musíš to napsat tak, aby se dalo pochopit, čeho se to týká.

žabí hněv

↑ 2M70:

Každému bodu ze zkoumaného intervalu lokální stejnoměrné konvergence existuje delta okolí tohoto bodu, v němž funkční posloupnost konverguje stejnoměrně.

Osobně bych na to šel obráceně(negací) : Existuje nějaký bod z mého intervalu, takový, že pro libovolné delta okolí tohoto bodu moje funkční posloupnost v tomto delta okolí nekonverguje stejnoměrně?

V tvém případě si myslím, že je to bod "nekonečně" blízko k jedné.

Pokud bych uvažoval "hack", jak to někdo nazval, který jsi proved, tak na intervalu $\langle0;1-\delta\rangle$ daná posloupnost konverguje stejnoměrně, čímž máš dokazanou lokální stejnoměrnou konvergenci na tomto intervalu.

Ber to jako názor, nejsem si moc jistý.

Edit : Na druhou stranu mě napadlo, že pokud pro libovolné $x\in\langle0;1)$ zvolíš pevné $\delta>0$ , takové, pro které platí : $1-(x+\delta)>0$ , pak na takovémto delta okolí bodu x je funkční posloupnost stejnoměrně konvergentní. Ale je to jen nápad...

krakonoš

↑ 2M70:Ahoj.
Pripadalo mi,ze reseni tohoto problemu trva prilis dlouho,tak jsem si neco dostudovala z knizky,protoze uz je to hodne let,co jsem se tim zabyvala az do takovehle hloubky. Priznam se,ze vubec nevidim,ze by byl bod 1 problemovy.Dosazenim do fce dostaneme nulu.Nekonverguje to az pro vic jak jedna. lJa bych videla problem spis v bode -1.
Co se tyce lokalni konvergence,doporucuji i mimochodem Moore -Osgoodovu vetu o zamene limit.Spocteme si limitu konvergentni fce v bode a.Jako dalsi limitu posl funkci v bode a a v zapeti posleme n do nekonecna.Pokud neni vysledek stejny,tak to na okoli bodu a lokalne nekonverguje.
Zdravi Lida

MichalAld · 31. 10. 2018 08:36

↑ krakonoš:
Tak se ještě podívej, co je to STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE.

To o čem píšeš je bodová konvergence - tj. konvergence v každém jednotlivém bodě.
Stejnoměrná konvergence je konvergence na intervalu. A to je právě ten trik, že některé funkce stejnoměrně nekonvergují. Jako třeba tahle. Je to vidět i na tom grafu, co jsem sem dal.

Úplně nematematicky řečeno, když funkce konverguje stejnoměrně, konverguje "shora", zatímco když nestejnoměrně, tak "zboku". To můžeš vidět na tom grafu - ten vršek (maximum funkce) tam bude vždycky, a vždy ve stejné výšce (to je specialtita této funkce, že je to stále ve stejné výšce). Ale je tam. Jen se postupně zužuje. Ale výšku má pořád stejnou. Takže žádnou volbou n (n-té funkce v řadě) nedosáhneme toho, abychom na celém intervalu byli velmi blízko výsledku, v tom vršku budeme od něj pořád stejně daleko.

O tom je stejnoměrná konvergence, a tady řešíme "lokálně stejnoměrnou konvergecni". Né "lokálně bodovou konvergenci".

vlado_bb

↑ krakonoš: Alebo, to iste, co pise ↑ MichalAld: len inymi slovami - rovnomerna konvergencia je konvergencia v metrickom priestore so supremovou metrikou. (Z akej knizky si to studovala?)

krakonoš

↑ vlado_bb: Ahoj,ja myslela ze nevidim u jednicky problem z hlediska bodove konvergence,u minus jednicky je problem dokonce uz u te bodove .Z hlediska stejnomerne tam pochopitelne problem je.Je to vlastne dusledek toho ze nepujde supremum vzdalenosti fn a f k nule pri n jdouci do nekonecna.Ale uz moc nevidim,jestli tento defekt neovlivnuje i tu lokalni konvergenci.Sice zamena limit naznacuje ,ze je nadeje na lokalni,ale to neni dukaz,protoze ve vete je implikace,nikoli ekvivalence.Jedine si opravdu predstavit pro kazdy bod (1-delta)na ntou-(1-delta) na 2ntou.
A ta -1 hodnota me napadla,ze by vlastne slo uvazovat o intervalu otevrenem (-1;1).

2M70 · 31. 10. 2018 16:27

↑ žabí hněv:

Tohle vysvětlení mi přijde nejbližší mému postupu. Samozřejmě se řídím i radami ostatních účastníků diskuze.

Je dost posloupností funkcí, kde po vyjmutí některého "škodícího" bodu je funkce lokálně stejnoměrně konvergentní, zrovna mě napadá

$sin(\pi x^{n})$

která na <0; 1> není stejnoměrně konvergentní, ale po "vyjmutí" jedničky je na intervalu <0; 1) lokálně stejnoměrně konvergentní.

MichalAld · 31. 10. 2018 16:39

2M70 napsal(a):
↑ žabí hněv:

Tohle vysvětlení mi přijde nejbližší mému postupu. Samozřejmě se řídím i radami ostatních účastníků diskuze.

Je dost posloupností funkcí, kde po vyjmutí některého "škodícího" bodu je funkce lokálně stejnoměrně konvergentní, zrovna mě napadá

$sin(\pi x^{n})$

která na <0; 1> není stejnoměrně konvergentní, ale po "vyjmutí" jedničky je na intervalu <0; 1) lokálně stejnoměrně konvergentní.

Mě to přijde prostě to samé, když řekneme, že na intervalu <0; 1) je funkce lokálně stejnoměrně konvergentní, jako když řekneme, že na intervalu <0; a>, kde a < 1 je funkce stejnoměrně konvergentní.

Problém je jen v okolí toho bodu 1, pokud dokážeme okolí bodu 1 z našich úvah vyhodit, máme vyhráno. Je úplně jedno, jak malé to okolí je, ale musí být nějaké. Zatímco interval <0; 1) nám žádné okolí bodu 1 nevyřadí, vyřadí nám jen ten bod 1. Ten způsob, jak definujeme lokální konvergenci je jen způsob, jak si od bodu 1 udržet nějakou (byť libovolně malou, ale nějakou) vzdálenost.

žabí hněv · 31. 10. 2018 18:26

↑ MichalAld:

Pokud vyjdu z nespočetnosti množiny reálných čísel na tomto intervalu, tak vždy najdu nějaké okolí bodu x, které mi splňuje kriterium lokální stejnoměrné konvergence. Ať už se k bodu jedna přibližuji jakkoliv, vždy tam bude ta "mezera". Takhle jsem k tomu přistupoval já.

2M70 · 31. 10. 2018 18:27

↑ MichalAld:

"Mě to přijde prostě to samé, když řekneme, že na intervalu <0; 1) je funkce lokálně stejnoměrně konvergentní, jako když řekneme, že na intervalu <0; a>, kde a < 1 je funkce stejnoměrně konvergentní."

... s tím souhlasím.

↑ MichalAld:

"Problém je jen v okolí toho bodu 1, pokud dokážeme okolí bodu 1 z našich úvah vyhodit, máme vyhráno. Je úplně jedno, jak malé to okolí je, ale musí být nějaké. Zatímco interval <0; 1) nám žádné okolí bodu 1 nevyřadí, vyřadí nám jen ten bod 1. Ten způsob, jak definujeme lokální konvergenci je jen způsob, jak si od bodu 1 udržet nějakou (byť libovolně malou, ale nějakou) vzdálenost."

...není to v rozporu s první větou?

MichalAld · 31. 10. 2018 20:20

↑ 2M70:
No právě že není. Když máme interval <0; a>, tak ať si to "a" zvolíme jak chceme, vždycky bude k té jedničce ještě kupa místa (nekonečně mnoho bodů). Nedokážeme a zvolit tak, aby to odpovídalo intervalu <0; 1). Vždycky nám zůstane interval (a; 1), do kterého se nám "vecpe" ten vrchol funkce, co nám kazí tu stejnoměrnou konvergenci.

Je to prostě takový ten trik stojící na tom, že otevřený interval nemá největší prvek, nemá "ostrou hranici". I když řekneme, že "pro každý bod otevřeného intervalu platí" tak z toho tak nějak neplyne, že to platí pro celý ten interval. Přijde mi to taky zvláštní, ale to tak je, ty "otevřené množiny".

MichalAld

Matematikové myslím vymysleli nějakou obecnou teorii na tohle - že množnia reálných čísel "není dobře uspořádaná". Že existují její podmnožiny, které nemají nejmenší (nebo největší, podle mě je to jedno) prvek. A o tom to celé všechno je.

Prostě - množina reálných čísel je "blbá", a kvůli tomu vznikají takovéhle problémy.

vanok · 01. 11. 2018 09:19 — Editoval vanok (01. 11. 2018 09:20)

Ahoj ↑ MichalAld:,
Toto sa oplati ti precitat
https://ac.els-cdn.com/S031508600400091 … 9162b3968e

A tiez
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Convergence_uniforme
Ako aj
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Uniform_convergence

2M70 · 02. 11. 2018 13:03

↑ vanok:

Ahoj, též dík za tipy na stránky, pokusím se to přelouskat, bohužel s angličtinou na tom nejsem nejlépe, ač bych měl.

2M70 · 02. 11. 2018 14:16

Podobný příklad se stejným závěrem:

fn(x) = $n^2x(1-x)^{2}$

na <0; 1>

fn (0) = fn (1) = 0,
fn nabývá maximum v bodě fn'(x)=0,

fn'(x) = 0 <==> fn'(x) = $n^{2}(1-x)^{n-1}[1-x-nx]$ = 0 <==> $x_{n,max}=\frac{1}{n+1}$ =

$\sigma _{n}=f_{n}(x_{n})=\frac{n^{2}}{1+n}(\frac{n}{n+1})^{n}=$

= $n\cdot \frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{n}}\Rightarrow \infty$

fn nekonverguje stejnoměrně na <0; 1>
ale pokud uvažujeme interval < $\delta$ ; 1>, pro $\delta$ > 0,
tak od jistého n0 bude $x^{n}_{m} < \delta$ pro $\forall n\ge n_{0}$
Pak pro tato $n\ge n_{0}$ je
$\sigma _{n}=sup_{(x\in <\delta ;1>)}f^{n_{}}_{x}=f_{n}(\delta )\Rightarrow 0$
pro $n\Rightarrow \infty$

Shrnutí
1) fn nekonverguje stejnoměrně k f na <0; 1>
2) fn konvergue stejnoměrně na < $\delta$ ; 1> pro $\forall \delta >0$
a tedy
3) fn konvergue lokálně stejnoměrně na (0; 1>

Tedy prakticky stejný závěr jako u mého příkladu.

krakonoš · 02. 11. 2018 15:34

↑ 2M70:Ahoj.
Prosim te,ta zadana funkce neodpovida derivaci funkce.V zadani je zavorka umocnena nadruhou.V derivaci na ntou

2M70 · 02. 11. 2018 16:21

↑ krakonoš:

Ahoj, toho jsem si nějak nevšiml. Nicméně hlavní je, myslím, ten závěr - není mnou vymyšlený, nicméně odpovídá mým předchozím příspěvkům. Tedy, když vezmu uzavřený interval s mezí delta ostře větší než nula, tak dostanu interval, který je otevřený na straně "špatného" bodu a na vzniklém intervalu je funkce lokálně stejnoměrně konvergentní.

krakonoš · 02. 11. 2018 17:52

↑ 2M70:Ano.Tento priklad je vporadku.Pocitala jsem si ho i pro sebe a vse souhlasi.

2M70 · 02. 11. 2018 18:01

↑ krakonoš:

Teď jde ještě o to, jestli by se takový závěr nedal přisoudit i tomu mému příkladu.

krakonoš

↑ 2M70:Prosim te,jak byl ten priklad zadan,derivace neodpovida ani druhe ani n-1 mocnine zavorky. Tu derivaci jsem prve nezkoumala,je tam áe urcite chyba,to vidim ,kdyz uvazuji nad prubehem funkce pro n jedna.Derivace proste neodpovida zadane funkci.Takze je to cele spatne.

2M70 · 02. 11. 2018 19:19

↑ krakonoš:

Teď na to koukám...derivace vůbec neodpovídá původní funkci. Buď je dobře postup a špatné zadání (lepší situace), nebo danému zadání odpovídá špatný průběh výpočtu...

2M70 · 02. 11. 2018 19:27

Jestli dobře derivuju, tak ta "špatná" funkce by měla derivaci

$n^2(1-x)^{2}$

odvození je na několik řádků, ale stačilo použít rozklady (a-b)(a+b) a posčítání.

Matematické Fórum

#26 28. 10. 2018 13:59

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#27 29. 10. 2018 12:29

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#28 30. 10. 2018 16:30

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#29 30. 10. 2018 23:35

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

2M70 napsal(a):

2M70 napsal(a):

#30 31. 10. 2018 00:04 — Editoval žabí hněv (31. 10. 2018 01:28)

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#31 31. 10. 2018 02:14 — Editoval krakonoš (31. 10. 2018 02:33)

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#32 31. 10. 2018 08:36

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#33 31. 10. 2018 08:40 — Editoval vlado_bb (31. 10. 2018 08:41)

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#34 31. 10. 2018 10:24 — Editoval krakonoš (31. 10. 2018 13:23)

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#35 31. 10. 2018 16:27

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#36 31. 10. 2018 16:39

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

2M70 napsal(a):

#37 31. 10. 2018 18:26

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#38 31. 10. 2018 18:27

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#39 31. 10. 2018 20:20

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#40 31. 10. 2018 20:22 — Editoval MichalAld (31. 10. 2018 20:23)

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#41 01. 11. 2018 09:19 — Editoval vanok (01. 11. 2018 09:20)

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#42 02. 11. 2018 13:03

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#43 02. 11. 2018 14:16

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#44 02. 11. 2018 15:34

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#45 02. 11. 2018 16:21

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#46 02. 11. 2018 17:52

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#47 02. 11. 2018 18:01

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#48 02. 11. 2018 19:04 — Editoval krakonoš (02. 11. 2018 19:10)

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#49 02. 11. 2018 19:19

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

#50 02. 11. 2018 19:27

Re: Důkaz lokální stejnoměrné konvergence posloupnosti funkcí

Zápatí