Matematické Fórum

Mr.Luc · 26. 11. 2018 12:11 — Editoval Mr.Luc (26. 11. 2018 12:25)

Věděl by někdo poradit s tímto příkladem:
Mám určit supremum množiny

$D=\{q\in \mathbb{Q}, q<\sqrt{3}\}$

Je mi jasné, že supremum je \sqrt{3}, to jsem chtěl dokázat tak, že když vezmu $x<\sqrt{3}$ najdu mezi
$x$ a $\sqrt{3}$ racionální číslo $\frac{a}{b}$ ale nevím, jak definovat to racionální číslo.

vlado_bb

↑ Mr.Luc:Staci vyuzit, ze polovica racionalneho cisla je tiez racionalne. Odtial (podrobnosti si urobis urcite sam) dostanes, ze pre lubovolne kladne $\varepsilon$ existuje racionalne $q$ take, ze $0<q<\varepsilon$ . A to je uz takmer to, co potrebujeme. V nasom pripade bude treba ukazat, ze medzi kazdou dvojicou roznych realnych cisel existuje racionalne. To asi tiez zvladnes.

Stýv · 26. 11. 2018 12:22

↑ Mr.Luc: proč chceš racionální číslo a nestačí ti reálné?

vlado_bb · 26. 11. 2018 12:24

↑ Mr.Luc: Podla pismenka $q$ v zapise $D=\{q\in \mathbb{R}, q<\sqrt{3}\}$ odhadujem, ze v skutocnosti malo ist o mnozinu $D=\{q\in \mathbb{Q}, q<\sqrt{3}\}$ , je to tak?

Mr.Luc · 26. 11. 2018 12:25

↑ Stýv:
Potřebuju, aby patřilo do množiny $Q$ jinak to nevyvrací, že $x$ je horní mez množiny $Q$

vlado_bb

↑ Mr.Luc: Co je mnozina $Q$ ? Ak vsetky racionalne cisla, tak $\sqrt{3}$ celkom iste nie je jej supremum. Inymi slovami - ak trvas na povodnom zadani, tak skutocne staci lubovolne realne $x$ .

edit - aha, opravil si zadanie, uz je to jasnejsie

Mr.Luc · 26. 11. 2018 12:31

↑ vlado_bb:
Ano, $Q$ je množina racionálních čísel pro $q<\sqrt{3}$ . Supremum je $\sqrt{3}$

Mr.Luc · 26. 11. 2018 12:35

vlado_bb napsal(a):
↑ Mr.Luc:Staci vyuzit, ze polovica racionalneho cisla je tiez racionalne. Odtial (podrobnosti si urobis urcite sam) dostanes, ze pre lubovolne kladne $\varepsilon$ existuje racionalne $q$ take, ze $0<q<\varepsilon$ . A to je uz takmer to, co potrebujeme. V nasom pripade bude treba ukazat, ze medzi kazdou dvojicou roznych realnych cisel existuje racionalne. To asi tiez zvladnes.

Tohle už jsem asi pochopil, tak to už bych měl zvládnout:). Díky moc.

MichalAld · 26. 11. 2018 17:09

Není to náhodou tak, že pokud to supremum má patřit do množiny racionálních čísel, tak prostě NEEXISTUJE ?

Viz supremum na množině racionálních čísel

Mr.Luc · 26. 11. 2018 17:13

↑ MichalAld:
No v zadání nikde není řečenop, že hledáme supremum na $Q$ , tedy předpokládám, že je v $\mathbb{R}$

vanok · 26. 11. 2018 17:43

Ahoj ↑ Mr.Luc:,
Lopatisticka poznamka.
↑ MichalAld:( pozdravujem) ti chcel naznacit ze v $\Bbb Q$ nema vzdy sup, inf. A tak sa daju characterizovat iracionalne cisla. To je dovod uvedenia realnych cisiel. Jedna z moznych konstrukcii pouziva predosle pozorovania. Pozri tu https://en.m.wikipedia.org/wiki/Constru … al_numbers Dedekind-ovu konstrukciu vdaka rezom.
Dobre citanie.

Matematické Fórum

#1 26. 11. 2018 12:11 — Editoval Mr.Luc (26. 11. 2018 12:25)

Definice racionálního čísla

#2 26. 11. 2018 12:14 — Editoval vlado_bb (26. 11. 2018 12:16)

Re: Definice racionálního čísla

#3 26. 11. 2018 12:22

Re: Definice racionálního čísla

#4 26. 11. 2018 12:24

Re: Definice racionálního čísla

#5 26. 11. 2018 12:25

Re: Definice racionálního čísla

#6 26. 11. 2018 12:28 — Editoval vlado_bb (26. 11. 2018 12:30)

Re: Definice racionálního čísla

#7 26. 11. 2018 12:31

Re: Definice racionálního čísla

#8 26. 11. 2018 12:33 Příspěvek uživatele Mr.Luc byl skryt uživatelem Mr.Luc.

#9 26. 11. 2018 12:35

Re: Definice racionálního čísla

vlado_bb napsal(a):

#10 26. 11. 2018 17:09

Re: Definice racionálního čísla

#11 26. 11. 2018 17:13

Re: Definice racionálního čísla

#12 26. 11. 2018 17:43

Re: Definice racionálního čísla

Zápatí