Matematické Fórum

ježek · 05. 12. 2018 12:32 — Editoval ježek (05. 12. 2018 14:49)

Mohl bych vás poprosit o pomoc s tímto příkladem?

Je dána funkce $f(x,y)=2x^{3}-y^{2}+3xy+x-5y+2$ .

Mám v bodě $T[-1,1]$ spočítat Hessovu matici a podle definitnosti Hessovy matice určit, zda je funkce v bodě T konvexní nebo konkávní. Prý je konkávní. První řídicí hlavní minor je -12 a druhý 18.

Mělo by tedy asi platit $s\cdot H\cdot s^{T}<0$ , kde $s\in R^{2}$ je (řádkový) směrový vektor, ale spočítat už to nedovedu.

laszky · 05. 12. 2018 19:30

↑ ježek:

Ahoj, Hessova matice je:

$H_f(x,y) = \left(\begin{array}{cc} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \\ \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 12x & 3 \\ 3 & -2 \end{array}\right)$

$H_f(-1,1)= \begin{pmatrix} -12 & 3 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ .

Pro matici $-H_f(-1,1)=\begin{pmatrix} 12 & -3 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ plati, ze 12>0 a $\det(-H_f(-1,1))=15>0$ , takze podle Sylvestrova kriteria je matice $-H_f(-1,1)$ pozitivne definitni a funkce $-f(x,y)$ je v bode $T[-1,1]$ konvexni. Z toho vyplyva, ze funkce $f(x,y)$ je v bode $T[-1,1]$ konkavni.

ježek · 05. 12. 2018 20:03

Zcela jasné. Díky za pomoc.

Matematické Fórum

#1 05. 12. 2018 12:32 — Editoval ježek (05. 12. 2018 14:49)

Konvexita funkce 2 proměnných podle definitnosti Hessovy matice

#2 05. 12. 2018 14:34 Příspěvek uživatele ježek byl skryt uživatelem ježek.

#3 05. 12. 2018 19:30

Re: Konvexita funkce 2 proměnných podle definitnosti Hessovy matice

#4 05. 12. 2018 20:03

Re: Konvexita funkce 2 proměnných podle definitnosti Hessovy matice

Zápatí