Matematické Fórum

Belda · 17. 12. 2018 14:13

Zdravím,
mám za úkol vypočítat těžiště křivky (pouze souřadnici X) a při počítání hmotnosti moc nevím, jak dál.
Moje zadání je
$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} =1$ $x\ge 0$ $y\ge 0$ $\sigma = y$
Parametrizací x = a.cost a y = b.sint jsem si vypočítala $ds = \sqrt{a^{2}\cdot cos^{2}t+b^{2}\cdot sin^{2}t}$ .
V integrálu $\int_{0}^{\pi /2}b\cdot sint\cdot \sqrt{a^{2}\cdot cos^{2}t+b^{2}\cdot sin^{2}t}$ jsem si pod odmocninou dosadila za $cos^{2}t=1-sin^{2}t$ a do substituce jsem dala $u = a^{2}\cdot cos^{2}t+b^{2}\cdot sin^{2}t$ , ale to mi nijak nepomohlo, protože mi pak v integrálu zůstalo $\int_{}^{}\frac{\sqrt{u}}{cost}du$ .
Spolužák má podobné zadání a doporučil mi po úpravě substituci nejdříve za u = cost a po té $u^{2} = \frac{a^{2}\cdot tg^{2}v}{(b^{2}-a^{2})}$ , což tedy vede na dobrou šílenost, tak se chci zeptat, jestli tu někoho nenapadá nějaká méně bolestivá cesta? :D

jardofpr · 19. 12. 2018 17:11

ahoj ↑ Belda:

ten integrál pre hmotnosť (ak je $\sigma (x,y) = y$ hustota) mi príde ok

čo mi nedáva zmysel je urobiť pod odmocninou úpravu/dosadenie a potom dať aj tak pôvodný výraz spod odmocniny do substitúcie ako píšeš

cesta ktorú radí spolužiak $u=\cos{t}$ je schodná po úprave $\sin^2(t) = 1-\cos^2(t)$ pod odmocninou

to ťa dovedie k integrálu tvaru $\int_{A}^{B}\sqrt{K^2\pm u^2} \mathrm{d}u$ kde $K>0$ ,
znamienko závisí od toho či je $b>a$ alebo $a>b$

tento sa zasa dá riešiť substitúciou $u = K\sin\alpha$ pre prípad minus pod odmocninou alebo $u=K\tan\alpha$ pre prípad +

spolužiakom odporučený druhý krok je niečo podobné akurát odporúča substitúciu pre prípad +,
ale s predpokladom $b>a$ čo mne nedáva veľmi zmysel ak mi niečo neuniklo

efektívnejší spôsob výpočtu mi známy nie je

Rumburak

↑ Belda:

Ahoj. K tomu, aby bod $M[m, n]$ byl těžištěm dané křivky, musí být splněna
jakási podmínka. Z té je třeba vyjít. Kde ji máš ?

Matematické Fórum

#1 17. 12. 2018 14:13

Křivkový integrál - těžiště

#2 19. 12. 2018 17:11

Re: Křivkový integrál - těžiště

#3 21. 12. 2018 11:32 — Editoval Rumburak (21. 12. 2018 11:32)

Re: Křivkový integrál - těžiště

Zápatí