Matematické Fórum

Verquido

Zdravím,

Jak se prosímvás doberu k vlastním vektorům matice?

Už jsem se dopracoval k vlastním číslům, ale vektory nemůžu pochopit.

Skočím v bodě kdy za $\lambda$ v matici dosadím jedno z vlastních čísek. Pak už nevím.

A ještě mám pár dotazů k maticím, ale nevím jestli mám vše psát na nové vlákno (4 vlákna) nebo sem. Nebo kdyby mi někdo napsal soukromou zprávu a dořešil to semnou tak to by bylo super.

Díky :)

MichalAld · 01. 01. 2019 17:02

No vyřešíš rovnici

$[A-\lambda E][x,y,z]=0$

(pokud jsi tedy měl matici 3x3 - a ten vektory x,y,z by měl být na výšku, ale já nevím, jak se to v texu dělá.

Normálně by taková rovnice měla jen nulové řešení, ale díky tomu, že ta matice je singulární (hledali jsme vlastní čísla tak aby singulární byla) má to i nenulové řešení. Dokonce to má nekonečný počet řešení, vlastních vektorů je nekonečno, vlastní vektor může mít libovolnou velikost, jen mají všechny stejný směr.

Tak to prostě zkus vyřešit a uvidíš že to jde skoro samo. S tím, že řešení dostaneš například jako y = ax, z = cx.

Verquido · 01. 01. 2019 17:40

Řekl bych že se teď pohybujeme na téhle fázi.

$https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c98103eed9aca622c65c8232c63c782e6faa0aa$

a jak se dostali sem?

$https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96bdace44d7c23bcbde28f4b4452e6349a7b683$

Nevím jak tam mám počítat s tím $u_1$ .

laszky · 01. 01. 2019 18:49

↑ Verquido:

Ahoj. Jedna se o reseni soustavy rovnic s nulovou pravou stranou a singularni matici $\mathbb{A}-\lambda\mathbb{I}$ .
Ta (soustava) ma (podle Frobeniovy vety) vzdy nekonecne mnoho reseni, ktera tvori vektorovy prostor $\ker(\mathbb{A}-\lambda\mathbb{I})$ .
Bazi tohoto prostoru najdes tak, ze matici $\mathbb{A}-\lambda\mathbb{I}$ upravis pomoci Gaussovy eliminace na trojuhelnikovy
(odstupnovany, schodovity) tvar a najdes linearne nezavisle vektory, ktere jsou kolme k radkum vznikle matice.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

MichalAld · 01. 01. 2019 18:52

No tak když složky vektoru u1 označíme x, y, tak prostě řeš soustavu:

x - y = 0
2x - 2y = 0

Rovnice jsou identické (což je celkem normální, když je matice singulární, tj oba řádky jsou lineárně závislé), takže si jeden z nich vyber, no a výsledek je

x - y = 0

x = y

To je všechno. Nemusí to být nutně 2, 2, může to být klidně i 1, 1 nebo cokoliv jiného kde x = y.

Pak dosadíš druhé vlastní číslo a určíš druhý vlastní vektor.

Matematické Fórum

#1 01. 01. 2019 16:36 — Editoval Verquido (01. 01. 2019 16:38)

Vlastní vektory matic

#2 01. 01. 2019 17:02

Re: Vlastní vektory matic

#3 01. 01. 2019 17:40

Re: Vlastní vektory matic

#4 01. 01. 2019 18:49

Re: Vlastní vektory matic

#5 01. 01. 2019 18:52

Re: Vlastní vektory matic

Zápatí