Matematické Fórum

RDena · 03. 01. 2019 17:31

Dobrý den, potřebovala bych poradit, jak se dokazuje izomorfie.

Dokažte, že okruhy $Q[\sqrt{2}]$ a $Q[\sqrt{3}]$ nejsou izomorfní.

přeloženo z originálu

Prove that the rings . $Q[\sqrt{2}]$ and $Q[\sqrt{3}]$ are not isomorphic.

Děkuji za Váš čas.

jardofpr · 03. 01. 2019 18:03

ahoj ↑ RDena:

skús sa zamyslieť nad tým že ak by taký izomorfizmus existoval tak napríklad rovnica $x^2=2$ by musela mať riešenie v $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$

(zadanie chce ukázať že okruhy nie sú izomorfné)

RDena · 03. 01. 2019 19:32

A existuje nějaká věta podle které to můžu dokázat? Když projíždím literaturu, tak bijektivní homomorfismy se uvádí jen jako zobrazení jednoho okruhu na druhý s pomocí operací krát a plus. Vím teda jen to, že se mi ty okruhy na sebe nezobrazí identicky, tím pádem to izomorfní není.

jardofpr · 03. 01. 2019 20:55

↑ RDena:

izomorfizmus nie je veľmi o tom že by sa niečo malo medzi sebou zobraziť identicky v pravom zmysle slova,
skôr ide o to že je to zobrazenie ktoré rešpektuje štruktúru, t.j. môžeš mať nejaké množiny s operáciami
ktoré môžu mať rôzne prvky v množinách ale aj tak sa môžu rovnako správať v zmysle ich štruktúry spolu s operáciami

(keď trochu pohľadáš tu na fóre alebo inde určite nájdeš aj lepšie vysvetlenie)

k tvojmu príkladu
princípom úlohy je ukázať že akékoľvek zobrazenie $\phi : \mathbb{Q}[\sqrt{2}]\to \mathbb{Q}[\sqrt{3}]$
nebude izomorfizmus, vysvetlenie "viem že sa na seba nezobrazia identicky" zrejme nebude stačit

pracuj napríklad s predpokladom že by taký izomorfizmus existoval

v $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ platí $(\sqrt{2})^2=2$ alebo $(\sqrt{2})^2-2 = 0$

existujúci izomorfizmus potom dáva $(\phi (\sqrt{2}))^2-2=0$ pričom $\phi (q) = q\,,\,\forall q\in\mathbb{Q}$ treba zrejme ukázať

t.j. v $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ musí byť prvok $\phi (\sqrt{2})$ ktorý spĺňa rovnicu $x^2-2=0$

je to už vidno teraz?

vanok · 03. 01. 2019 23:32

Ahoj ↑ jardofpr:,
Mala poznamka.
Davas kolegovy velmi uzitocne rady.

Dokaz, ktory chce urobit je asi najrychlejsie urobit tak, ze sa urobi v dvoch etapach ( pojde o dokazy sporom)

Najprv mozme ukazat, ze $a+b\sqrt 2 \mapsto a+ b\sqrt 3$ nie je mozny isomorfismus danych telies.

A potom dokazat, vseobecnu otazku, ktoru formuloval.

jardofpr · 04. 01. 2019 17:42

ahoj ↑ vanok:

vďaka za komentár
tvoj návrh bude pravdepodobne názornejší

ešte mi napadla medzitým priamočiara a názornejšia línia tiež s predpokladom existencie izomorfizmu $\phi$ , potom

1.) musí byť $\phi (q) = q\,,\,\forall q \in \mathbb{Q}$
2.) z toho $\phi (a+b\sqrt{2}) = a+b\phi (\sqrt{2})$ pre $a,b\in\mathbb{Q}$
3.) ak je $\phi (\sqrt{2}) = c+d\sqrt{3}$ kde $c,d\in\mathbb{Q}$ tak je $\phi (2) = (c+d\sqrt{3})^2$ a z toho $c=d=0$ čo vedie k sporu

mal si na mysli toto či niečo iné?

↑ RDena: vieš niektrorý zo spomenutých postupov aplikovať?
obávam sa že to nejde priamo aplikáciou nejakej vety ktorú štandardne máva kurz algebry
ale skôr nejakým spôsobom kde sa hráš s vlastnosťami izomorfizmu a zobrazovanej štruktúry

vanok · 04. 01. 2019 21:27 — Editoval vanok (04. 01. 2019 21:31)

Cau ↑ jardofpr:,
Akoze ide o dokazy sporom ... je pochopitelne vela moznosti.

No tzv. konstruktivny dokaz tu neexistuje ( aspon si myslim). https://en.m.wikipedia.org/wiki/Constructive_proof

A inac som pre uplnost mal zacat, s tym, ze oba okruhy su dokonca telesa. ( jednoduche na dokaz, ale treba si to uvedomit. )

Ak ta to zaujima, pochopitelne mozem napisat podrobne dokaz mojho navrhu v #5.
( jedina jeho vyhoda je, ze pouzije co najmenej vlasnosti danych telies).

jardofpr · 05. 01. 2019 12:35

ahoj ↑ vanok:

myslím si že nebude na škodu keď uvedieš tvoj postup,
povedal by som že bude dobré počkať či si zadávateľka problému poradí s uvedenými nápovedami
(prípadne uveď trochu širšiu nápovedu) a k uzavretiu témy pridaný ďalší postup môže byť zaujímavý
aj pre ďalších čitateľov fóra

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2019 17:31

algebra - důkaz, okruhy - izomorfní

#2 03. 01. 2019 18:03

Re: algebra - důkaz, okruhy - izomorfní

#3 03. 01. 2019 19:32

Re: algebra - důkaz, okruhy - izomorfní

#4 03. 01. 2019 20:55

Re: algebra - důkaz, okruhy - izomorfní

#5 03. 01. 2019 23:32

Re: algebra - důkaz, okruhy - izomorfní

#6 04. 01. 2019 17:42

Re: algebra - důkaz, okruhy - izomorfní

#7 04. 01. 2019 21:27 — Editoval vanok (04. 01. 2019 21:31)

Re: algebra - důkaz, okruhy - izomorfní

#8 05. 01. 2019 12:35

Re: algebra - důkaz, okruhy - izomorfní

Zápatí