Matematické Fórum

bobik · 20. 08. 2009 07:59

Zdravim, potreboval by som pomoct s prikladom:

Pohyb bodu je určený vektorovou funkciou $r(t)=(t^3,2t+1,\frac{t^3}{3}-t^2)$ . Určte polohu bodu A v ktorom zrýchlenie je kolmé na súradnicovú os z. V tomto bode určte veľkosť rýchlosti a zrýchlenia.

Za akekolvek rady vopred dakujem.

lukaszh · 20. 08. 2009 08:15

↑ bobik:
Zderivovať vektor
$\vec{a}=\frac{\rm{d}^2}{\rm{d}t^2}(r_x\cdot\hat{\mathbf{x}}+r_y\cdot\hat{\mathbf{y}}+r_z\cdot\hat{\mathbf{z}})=$
$\vec{a}=\frac{\rm{d}^2\vec{r}}{\rm{d}t^2}=\begin{pmatrix}6t\nl0\nl2t-2\end{pmatrix}$
Os z generuje vektor $\vec{e_3}^T=(0,0,1)$ , teda ak má byť vektor zrýchlenia kolmý na z, musí byť $\vec{e_3}^T\cdot\vec{a}=0$ , teda nulový skalárny súčin.
$(0,0,1)\cdot\begin{pmatrix}6t\nl0\nl2t-2\end{pmatrix}=2t-2=0\;\Leftrightarrow\; t=1$
Poloha bodu A je teda
$\vec{r}_A=\begin{pmatrix}1\nl3\nl-2/3\end{pmatrix}$
Dopočítaj zvyšok.

bobik · 20. 08. 2009 12:51

celkom nerozumiem tej derivacii, konkretne ako sa dostane ten vektor (6t,0,2t-2),.. nasledne na to staci uz iba urcite velkosti jednolivych vektorov, a priklad je dopocitany. ak som dobre pochopil

Cheop · 20. 08. 2009 13:05

↑ bobik:
Zrychlení je druhá derivace dráhy podle času.
První derivace:
$(t^3)^'=3t^2\nl(2t+1)^'=2\nl\left(\frac{t^3}{3}-t^2\right)^'=t^2-2t$
Druhá derivace :
$(3t^2)^'=6t\nl(2)^'=0\nl(t^2-2t)^'=2t-2$