Matematické Fórum

fmfiain · 11. 01. 2019 09:20

Dobrý deň,
mohol by mi niekto vysvetliť, čo je to deliaci pomer v reálnej afinnej geometrii.
Jedná sa o deliaci pomer troch bodov v n-rozmernom afinnom priestore nad poľom reálnych čísel.

Ďakujem za odpoveď.

fmfiain

Dobrý deň,
zistil som, že sa jedná o riešenie rovnice:

$C - A = x(C - B)$

kde A,B sú navzájom rôzne body, C musí byť rôzne od B, aby mi nevznikol nulový vektor a takýto deliaci pomer podľa C sa označuje (ABC). A x je jedno reálne číslo. A, B, C ležia na jednej priamke.

Jj · 11. 01. 2019 14:21 — Editoval Jj (11. 01. 2019 14:23)

↑ fmfiain:

Hezký den.

Pro ilustraci co si vzpomínám o dělícím poměru ve dvou rozměrech z projektivní geometrie:

Šlo o určení polohy třetího bodu na přímce vzhledem ke dvěma bodům téže přímky. Definovali jsme ho takto:

$(ABC) = \frac{AC}{BC}$ , kde

A,B jsou dva pevné body na přímce, AC a BC jsou délky orientovaných úseček daných body s krajními body (A, C), (B,C).

Orientace úseček na přímce byla dána pořadím jejich názvů v abecedě s tím, že např

- délka úsečky AB má znaménko '+', délka BA má znaménko '-', atd.

pak

- při (ABC) < 0 je bod C vnitřním bodem úsečky AB [při (ABC) = -1 je jejím půlícím bodem),
- při (ABC) > 1 je bod C vnějším bodem ve směru orientace AB (při (ABC) = 1 je krajním bodem),
- při 0 < (ABC) < 1 je bod C vnějším bodem proti směru orientace AB,

Pokud jsou na dané přímce zavedeny souřadnice a $(ABC) = \lambda$ , pak se souřadnice bodu C dá vyjádřit myslím takto:

$x_C=\frac{x_A-\lambda x_B}{1-\lambda}$

a parametrická rovnice daná v kartézských souřadnicích body (x1, y1) a (x2, y2) pak takto:

$x=\frac{x_1-\lambda x_2}{1-\lambda}, \quad y=\frac{y_1-\lambda y_2}{1-\lambda}$ , kde dělící poměr je proměnný parametr.

Snad jsem to nepopletl.

fmfiain

↑ Jj:
Dobrý deň,
ja som na deliaci pomer našiel takýto vzorec:

$M = A + t(B - A) \wedge t \neq 1 \Rightarrow M - A = \frac{t}{t-1}M - B \Rightarrow (ABM) = \frac{t}{t-1}$

kde M je deliaci bod priamky definovanej bodmi A, B a t je deliaci parameter, čiže $(ABM) = \frac{t}{t-1}$

Ak $t > 1 \Rightarrow (ABM)$ je kladné za bodom B. Ak $0 < t < 1 \Rightarrow (ABM)$ je je vo vnútri medzi bodmi A a B.
Ak $t < 0 \Rightarrow (ABM)$ je záporné pred bodom A.

fmfiain · 13. 01. 2019 15:21

Dobrý deň,
v jedných skriptách som našiel dva vzorce na deliaci pomer:

a) $(BAC) = \frac{1}{(ABC)}$
Riešenie bolo jednoduché. Stačilo zapísať deliaci pomer podľa vzorca #4:

$C - B =\frac{t}{t-1} (C - A)$

potom urobiť substitúciu: $\lambda =\frac{t}{t-1}$ ,
čím som dostal: $C - B = \lambda (C - A)$ .

Potom som už iba vynásobil rovnicu výrazom: $\frac{1}{\lambda }$ a dostal som:
$\frac{1}{\lambda }(C - B) = C - A$ . A keď to otočíme dostaneme:

$C - A = \frac{1}{\lambda }(C - B)$ .

Čiže ak máme výsledok $\lambda = \frac{t}{t-1}$ v prvom deliacom pomery, potom v druhom deliacom pomery je to isté pod zlomkom $\frac{1}{\lambda } = \frac{t-1}{t}$ .

b) $(ACB) = 1 - (ABC)$ . S týmto si ale neviem rady. Pomôže mi s tým niekto.

Ďakujem za odpoveď.

Jj · 13. 01. 2019 17:14

↑ fmfiain:

Podle symboliky v #3:

------A-------B--------C------

$1-(ABC)=1-\frac{AC}{BC}=\frac{BC-AC}{BC}=\frac{BA}{BC}=(BAC)$

fmfiain · 14. 01. 2019 08:40

↑ Jj:
Dobrý deň,

mohol by si mi ukázať nejaké skriptá alebo webovú stránku, kde $(ABC) = \frac{AC}{BC}$ je ukázané, že sa to tak rieši.

Ja mám v skriptách iba ten vzorec #4.

Ďakujem.

fmfiain

Dobrý deň,
ja mám chybu v skriptách, lebo ak platí: $C - A = x(C - B)$ , potom x by nebolo reálne číslo, ale vektor.

Lebo $\frac{C - A}{C - B} = x$ .

A ešte otázka: Dá sa deliť vektor vektorom?

fmfiain · 14. 01. 2019 09:22

Dobrý deň,
tá #5 je v poriadku, len treba zameniť vektory za dĺžky vektorov.

fmfiain · 14. 01. 2019 09:41

Dobrý deň,
ak by sme zamenili v tomto vzorci $\frac{C - A}{C - B} = x$ vektory za dĺžky vektorov $\frac{|C - A|}{|C - B|} = x$

dostanem sa k tvojmu vzorcu a to som potreboval.

Ďakujem.

Jj · 14. 01. 2019 09:52 — Editoval Jj (14. 01. 2019 09:55)

fmfiain napsal(a):
↑ Jj:

... kde $(ABC) = \frac{AC}{BC}$ je ukázané, že sa to tak rieši.

Řekl bych, že záleží na konkrétní definici dělícího poměru. Z toho pak plyne i forma použití. V definici, kterou jsme používali, není definován jako řešení nějaké rovnice, ale přímo jako poměr (orientovaných) vzdáleností. Tu jsem pro ilustraci uvedl v #3. Nemyslím, že je to nějaká obskurní definice, jen zřejmě vyhovovala pro účely projektivní geometrie. Jako přednost vidím její názornost. Ovšem v principu jde nakonec o totéž.

Těžko možu posloužit nějakými skripty (to pro mě bylo aktuální tak před padesáti roky). Podobně jako v #3 je tento poměr definován třeba tady Odkaz.

Edit: Než jsem to napsal, tak si napsal nové příspěvky, ale myslím, že to nemusím nějak doplňovat.

fmfiain · 15. 01. 2019 09:34

↑ Jj:
Dobrý deň,
tá stránka je výborná. Ďakujem.

Matematické Fórum

#1 11. 01. 2019 09:20

Deliaci pomer

#2 11. 01. 2019 09:28 — Editoval fmfiain (11. 01. 2019 10:35)

Re: Deliaci pomer

#3 11. 01. 2019 14:21 — Editoval Jj (11. 01. 2019 14:23)

Re: Deliaci pomer

#4 12. 01. 2019 09:23 — Editoval fmfiain (12. 01. 2019 09:50)

Re: Deliaci pomer

#5 13. 01. 2019 15:21

Re: Deliaci pomer

#6 13. 01. 2019 17:14

Re: Deliaci pomer

#7 14. 01. 2019 08:40

Re: Deliaci pomer

#8 14. 01. 2019 09:15 — Editoval fmfiain (14. 01. 2019 09:19)

Re: Deliaci pomer

#9 14. 01. 2019 09:22

Re: Deliaci pomer

#10 14. 01. 2019 09:41

Re: Deliaci pomer

#11 14. 01. 2019 09:52 — Editoval Jj (14. 01. 2019 09:55)

Re: Deliaci pomer

fmfiain napsal(a):

#12 15. 01. 2019 09:34

Re: Deliaci pomer

Zápatí