Matematické Fórum

Zakara · 17. 01. 2019 16:00 — Editoval Zakara (17. 01. 2019 16:00)

V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD a určete alespoň jeden jejich společný bod.
$A = [3,0,1]B =[4,-2,1]C=[0,2,3]D=[1,1,0]$
Neumím to vypočítat. Vím, že pro přímku v rovině je vzorec
$ax + by+c = 0$
a že musím udělat vektor, který je kolmý na tu přímku. Ale jak, když mám jen zadané body?
Stejně tak u roviny, kde vzorec je
$ax + by+cz+d = 0$
a musím udělat dva vektory, jestli se nemýlím? Můžete prosím někdo poradit?

Al1 · 17. 01. 2019 16:06

↑ Zakara:
Zdravím,
proč sekce VS? Tohle je učivo SŠ -aspoň bývalo.
Přímka AC ma parametrickou rovnici
$X=A+t(C-A), t\in \mathbb{R}$

Zakara · 18. 01. 2019 21:32 — Editoval Zakara (18. 01. 2019 21:34)

↑ Al1:Možná bývalo, ale na SŠ jsem to neměl a mám to teď na VŠ.
Takže to je:

$x = 3+t\cdot 0-3$
$y = 0+t\cdot 2-0$
$z = 1+t\cdot 3-1$

$x = 3-3t$
$y = 0-2t$
$z = 1-2t$

$t = 1$
t = nemá řešení
$t =\frac{1}{2}$

$t\in \mathbb{R}$

je to tak správně? a jak dál?

teolog · 18. 01. 2019 21:43 — Editoval teolog (18. 01. 2019 21:44)

↑ Zakara:
Zdravím,

v 3D prostoru neexistuje obecná rovnice přímky, proto Al1 radí použít parametrickou rovnici přímky. Tu jste sestavil (ale jsou tam drobné chyby), jen nevím, odkud a proč tam máte, že t=1, t=1/2 atd. To t je parametr, který popisuje všechny body přímky.

Rovina ale v daném prostoru obecnou rovnici má, je potřeba získat její normálový vektor, který získáte vektorovým součinem dvou směrových vektorů roviny.

Al1 · 18. 01. 2019 21:43

↑ Zakara:
Když opravím zápis
$x = 3+t\cdot (0-3)$
$y = 0+t\cdot (2-0)$
$z = 1+t\cdot (3-1)$ ,
tak to je dobře. Ale kolik je 2-0? A 3-1? Tak tohle je 1.třída ZŠ :-)
A proč počítáš hodnotu parametru? A z čeho? Když zvolíš t, vypočítáš souřadnice bodu na přímce AC.
Takže ( je nutné opravit tu rovnici!)
t=0 ... bod A
t=1... bod C
t=1/2.... střed úsečky AC
atd.

Zakara · 20. 01. 2019 11:48

A když teda dělám parametrické vyjádření přímky, stačí mi dva body, udělám si vektor ze dvou bodů , i když tam jsou tři body?

Zakara · 20. 01. 2019 12:22

parametricky vyjádřeno mi to vyšlo
$x=1-3t$
$y=2+5t$

Al1 · 20. 01. 2019 12:30 — Editoval Al1 (20. 01. 2019 12:31)

↑ Zakara:
Tvoje přímka AC určitě prochází body A a C, Které tři body máš na mysli?
Když máš přímku v prostoru E2, pak rozepsané parametrické vyjádření přímky píšeš
x=....
y=....
Když máš E3, píšeš
x=...
y=...
z=...
Takže co jsi vlastně napsal v posledním příspěvku?

Zakara · 20. 01. 2019 12:33

↑ Al1:V posledním příspěvku jsem napsal parametrické vyjádření rovnice přímky AC

Al1 · 20. 01. 2019 12:36

↑ Zakara:
Nenapsal. O to ses celkem správně pokusil v příspěvku výše, jen jsi špatně spočítal 3-1 a 2-0.
Čteš s porozuměním všechny příspěvky?

Zakara · 20. 01. 2019 13:00

Omlouvám se, pokud potřebuju zjistit vektor AC, tak C-A a to mi vyšlo takhle:
$u=-3,2,2$
Po dosazení do parametrické rovnice:
$x=3-3t$
$y=0+2t$
$z=1+2t$
nebo to mám zase špatně?

Al1 · 20. 01. 2019 13:03

↑ Zakara:
Je to dobře, jen doplň, že t je reálný parametr.

Zakara · 20. 01. 2019 13:09 — Editoval Zakara (20. 01. 2019 13:10)

↑ Al1: $t\in R$ ? Kdybych to tam nedal tak by to znamenalo co?

Al1 · 20. 01. 2019 13:14 — Editoval Al1 (20. 01. 2019 13:15)

↑ Zakara:
Když $t\in R$ , jedná se o celou přímku AC. Když např. $t\in\langle0,1\rangle$ , popisuješ úsečku AC. Když $t\in \langle0, \infty )$ , popisuješ polopřímku AC. Apod.

Zakara · 20. 01. 2019 13:57

Aha, děkuji. Co se týče potom rovnice roviny, tak jsem udělal dva vektory:
$U=-3,2,2 (B-A)$
$V=1,-1,-3(D-C)$
A za pomocí bodu B udělal parametrickou rovnici roviny:
$x=4-3t+1s$
$y=-2+2t-1s$
$z=1+2t-3s$

Al1 · 20. 01. 2019 15:45

↑ Zakara:
Rovina je BCD, vezmi vektory BC a BD ( nebo tvůj CD a vektor CB). O bodu A nevíme, zda leží v dané rovině.

Zakara · 20. 01. 2019 16:04 — Editoval Zakara (20. 01. 2019 16:05)

$U= -4,0,2(c-b)$
$x=4-4t+1s$
$y=-2+0t-1s$
$z=1+2t-3s$
Akorád nevím, jak určit ten společný bod.

Al1 · 20. 01. 2019 16:35 — Editoval Al1 (20. 01. 2019 16:36)

↑ Zakara:
Po kontrole: $A = [3,0,1]B =[4,-2,1]C=[0,2,3]D=[1,1,0]$ , Proveď opravu
$C-B=\left(0-4, 2-(-2), 3-1\right)$ .
Pro společný bod(body) spočítej soustavu danou rovnicí přímky a rovnicí roviny.
Soustava by byla jednodušší, kdybys užil obecnou rovnici roviny místo parametrické.

Al1 · 20. 01. 2019 17:24

↑ Zakara:
A ještě: pro rovnici roviny užij jiný parametr než t. Třeba r.

Zakara · 20. 01. 2019 17:54

$(u)=C-B = -4,4,2$
$B:$
$x=4+(-4r)+1$
$y=-2+4r+(-1s)$
$z=1+2r+(-3s)$
$x:$
$4=4-4r+1s$
$y:$
$-2=-2+4r-1s$
$z:$
$1=1+2r-3s$
a teď když tam mám dva vektory tak jsem z toho jeliman T_T

Al1 · 20. 01. 2019 18:05

↑ Zakara:
1.rovnice (přímka AC):
$x=3-3t$
$y=0+2t$
$z=1+2t$
$t\in R$

2.rovnice(rovina BCD):
$x=4+(-4r)+1s$
$y=-2+4r+(-1s)$
$z=1+2r+(-3s)$
$r,s\in R$

Hledáš bod, jehož souřadnice x, y, z vyhovují oběma rovnicím:
$3-3t=4-4r+s, 2t=-2+4r-s, 1+2t=1+2r-3s$

Zakara · 20. 01. 2019 18:59

Nechápu :(

Al1 · 20. 01. 2019 20:57 — Editoval Al1 (20. 01. 2019 20:59)

$t\in R$ $z=1+2t$ $y=0+2t$ ↑ Zakara:

Průsečík $P [x,y,z]$ , $P\in AC\wedge P\in \leftrightarrow BCD$ . Takže x přímky AC musí být stejné jako x roviny BCD, y přímky AC musí být stejné jako y roviny BCD a z přímky AC musí být stejné jako z roviny BCD.

To je také porovnávací metoda při řešení soustavy. Ta tvoje má ve skutečnosti 6 rovnic pro 6 neznámých
$x=3-3t$
$y=0+2t$
$z=1+2t$
$x=4+(-4r)+1s$
$y=-2+4r+(-1s)$
$z=1+2r+(-3s)$

Zakara · 25. 01. 2019 19:56

Dobrý večer, ještě se Vás chci prosím zeptat, když třeba dosadím souřadnice z bodu A a chci zjístit, jestli leží bod A na přímce AC a vypočítal jsem, že pro daný bod A:
$x = -3t$
$y = 2t$
$z = 2t$
Tak když máme alespoň dvě stejné $t$ v prostoru tak bod leží na této přímce $AC$ ?
Nedokážu si to moc představit, ale měli by stačit dva body v E3 ne? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 17. 01. 2019 16:00 — Editoval Zakara (17. 01. 2019 16:00)

V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#2 17. 01. 2019 16:06

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#3 18. 01. 2019 21:32 — Editoval Zakara (18. 01. 2019 21:34)

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#4 18. 01. 2019 21:43 — Editoval teolog (18. 01. 2019 21:44)

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#5 18. 01. 2019 21:43

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#6 20. 01. 2019 11:48

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#7 20. 01. 2019 12:22

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#8 20. 01. 2019 12:30 — Editoval Al1 (20. 01. 2019 12:31)

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#9 20. 01. 2019 12:33

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#10 20. 01. 2019 12:36

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#11 20. 01. 2019 13:00

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#12 20. 01. 2019 13:03

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#13 20. 01. 2019 13:04 Příspěvek uživatele Al1 byl skryt uživatelem Al1. Důvod: Duplikát

#14 20. 01. 2019 13:09 — Editoval Zakara (20. 01. 2019 13:10)

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#15 20. 01. 2019 13:14 — Editoval Al1 (20. 01. 2019 13:15)

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#16 20. 01. 2019 13:57

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#17 20. 01. 2019 15:45

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#18 20. 01. 2019 16:04 — Editoval Zakara (20. 01. 2019 16:05)

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#19 20. 01. 2019 16:35 — Editoval Al1 (20. 01. 2019 16:36)

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#20 20. 01. 2019 17:24

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#21 20. 01. 2019 17:54

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#22 20. 01. 2019 18:05

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#23 20. 01. 2019 18:59

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#24 20. 01. 2019 20:57 — Editoval Al1 (20. 01. 2019 20:59)

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

#25 25. 01. 2019 19:56

Re: V prostoru jsou dány 4 body, napište rovnici přímky AC, roviny BCD ...

Zápatí