Matematické Fórum

0wn3dz · 22. 01. 2019 14:03 — Editoval 0wn3dz (22. 01. 2019 14:30)

Dobrý den,
zadání příkladu zní:

Najděte objem tělesa ohraničeného parabolou $y = x^2$ rotující kolem osy y a rovinou $y = 2$ .

Našel jsem průsečíky těchto dvou funkcí a dostávám integrál $\int_{-{\sqrt2}}^{\sqrt2}2\mathrm{d}x - \int_{-{\sqrt2}}^{\sqrt2}x^2\mathrm{d}x$ ,
kterým však vypočtu pouze 2D obsah obrazce který rotuje, mohl by mi prosím někdo poradit jak vypočítat objem po rotaci?

Děkuji.

Rumburak

↑ 0wn3dz:

Ahoj. Obávám se, že Tebou uvedený integrál se příliš neuplatní.
Ulohu lze řešit pomocí trojného integrálu, avšak není to nezbytné.

Představme si to "fyzikálně". Máme nádobu ve tvaru rotačního paraboloidu
("rotuje" parabola o rovnici $y = x^2$ okolo svislé osy y a výška nádoby je rovna 2).

Dejme tomu, že tato nádoba je naplněna (například vodou) do výšky $h \in (0, 2)$ .

Ptejme se:

Jaký objem přitekl, zvedne-li se hladina o "nepatrnou" hodnotu $\text{d}h$ ?

Honzc · 23. 01. 2019 13:23 — Editoval Honzc (23. 01. 2019 13:25)

↑ 0wn3dz:
Objem můžeš vypočítat minimálně 4 způsoby:
1.Parabolu si "položíš" a budeš rotovat kolem osy x
$V=\pi \int_{0}^{2}(\sqrt{x})^{2}dx$
2. Kolem osy y
$V=\pi \int_{0}^{2}(\sqrt{y})^{2}dy$
3.Kolem osy y
$V=2\pi \int_{0}^{\sqrt{2}}x\cdot x^{2}dx$
4.Objem rotačního paraboloidu je roven 1/2 objemu válce stejné výšky
$V=\frac{1}{2}\pi( \sqrt{2})^{2}\cdot 2$

Matematické Fórum

#1 22. 01. 2019 14:03 — Editoval 0wn3dz (22. 01. 2019 14:30)

Objem tělesa ohraničeného fcí rotující kolem osy y

#2 22. 01. 2019 14:37 — Editoval Rumburak (23. 01. 2019 10:59)

Re: Objem tělesa ohraničeného fcí rotující kolem osy y

#3 23. 01. 2019 13:23 — Editoval Honzc (23. 01. 2019 13:25)

Re: Objem tělesa ohraničeného fcí rotující kolem osy y

Zápatí