Matematické Fórum

Vergil · 22. 08. 2009 22:55

Ahoj nevím si rady s touto diferenciální rovnicí

y''+4y'+4y = e^(-2x)

Nevím jak zjistit parametry alphu a betu. Pokud někdo ví kde je dobře vysvětleno řešení partikulárních rovnic tak bych byl moc rád :-)

Děkuji

Mephisto

Tak protože dvojka je dvojnásobným kořenem charakteristického polynomu té homogenní rovnice, tak řešení té homogenní rovnice budou zjevně tvořit lineární vektorový prostor generovaný funkcemi

$y_1(x) = e^{-2x}$
a
$y_2(x) = x e^{-2x}$

Nejdřív najdeš partikulární řešení ve tvaru

$y = e^{-2x} + x e^{-2x} + C x^2 e^{-2x}$

Tohle dvakrát zderivuješ, dosadíš do té původní nehomogenní rovnice, a Wolfram říká, že ti vyjde že C=1/2. Obecné řešení tedy je

$y = C_1 e^{-2x} + C_2 x e^{-2x} + \frac{1}{2} x^2 e^{-2x}$

kaja(z_hajovny) · 23. 08. 2009 00:03

Vergil napsal(a):
Pokud někdo ví kde je dobře vysvětleno řešení partikulárních rovnic tak bych byl moc rád :-)

Děkuji

staci treba tohle?

Mephisto · 23. 08. 2009 07:26

Dokonce mě se teďka zdá logické, že to partikulární řešení stačí hledat ve tvaru

$y = C x^2 e^{-2x}$

protože to

$e^{-2x} + x e^{-2x}$

se musí vyrušit automaticky - je to přece řešení té homogenní rovnice. No a tohle zderivovat a dosadit už není problém, po krátkém výpočtu dostaneš

$2 C e^{-2x} = e^{-2x}$

odkud opravdu C=1/2.

Matematické Fórum

#1 22. 08. 2009 22:55

Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

#2 22. 08. 2009 23:14 — Editoval Mephisto (23. 08. 2009 06:46)

Re: Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

#3 23. 08. 2009 00:03

Re: Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

Vergil napsal(a):

#4 23. 08. 2009 07:26

Re: Diferenciální rovnice se speciální pravou stranou

Zápatí