Matematické Fórum

katie200303 · 27. 02. 2019 07:57

Dobrý den, mám dotaz kvůli funkcím. Začali jsme je brát ve škole, a když jsem se zeptala učitelky jak to vypočítám bez kalkulačky a tabulet, odpověděla, že to nejde, ale podle mě to jít musí, protože kdo by pak dal té kalkulačce pokyn jak to má spočítat. Jak můžu sinus vypočítat bez kalkulačky?

Cheop · 27. 02. 2019 08:31

↑ katie200303:

Přečti si toto:
Odkaz

vlado_bb · 27. 02. 2019 08:48

↑ katie200303: Ocenujem ze nad funkciami uvazujes a zvysujem reputaciu za dobru otazku.

misaH · 27. 02. 2019 11:38

↑ katie200303:

Ahoj.

Definícia sinusu uhla v pravouhlom trojuholníku je dĺžka protiľahlej odvesny deleno dĺžka prepony.

Ak narysuješ pravouhlý trojuholník s príslušným uhlom, odmeriaš príslušné dĺžky a vyrátaš príslušný podiel, máš sinus uhla s nejakou presnosťou... ale kalkulačka možno využíva sofistikovanejší algoritmus.

Pokiaľ ide o iné uhly než ostré, treba využiť znalosti o kvadrantoch...

Otázku si zadala do sekcie ZŠ, pokiaľ viem, tam sa goniometria v súčasnosti nepreberá.

MichalAld · 27. 02. 2019 16:49

↑ katie200303:

Ahojky,

existují způsoby, jak (alespoň přibližně) vypočítat hodnoty některých funkcí. A určitě nejznámější způsob je ten, že každou (rozumnou - tj. dostateně hladkou) funkci lze v nějaké bodě a jeho okolí nahradit tzv. mocninou řadou.

Zrovna u funkcí sinus a cosinus to jde velmi hezky a jednoduše, takže např.

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}...$

Ta řada je samozřejmě nekonečná, ale pokud nám stačí přibližný výsledek (což nám v praxi stačí vždycky - nakonec kalkulačka to také vypočítá jen přibližně), tak stačí sečíst jen několik členů té celé nekonečné řady. To několik může znamenat deset, nebo taky deset miliónů, záleží na tom, jak rychle řada "konverguje", tj. jak rychle se blíží k tomu správnému výsledku.

Některé řady konvergují rychle (ty jsou pro výpočet vhodné), jiné konvergují pomalu (ty jsou prakticky nepoužitelné - když bychom museli sečíst miliony milionů členů, tak to v rozumném čase nespočítáme). Některé řady nekonvergují vůbec - jejich součet se třeba blíží nekonečnu. Takové pro výpočet použít nemůžeme.

Ten vykřičník, to označuje tzv. faktoriál, což je součin všech číslic od jedničky až po to číslo. Takže:

1! = 1
2! = 1*2 = 2
3! = 1*2*3 = 6
4! = 1*2*3*4 = 24
5! = 1*2*3*4*5 = 120
atd...dost rychle to roste

K tomu, abychom dokázali nějakou funkci nahradit mocninou řadou potřebujeme ovšem znalosti z vyšší matematiky (diferenciálního počtu) a né vždy se nám to musí podařit, ale když už to jednou někdo dokázal, můžeme to pomocí té řady klidně počítat.

Existují i jiné způsoby, jak nějakou funkci přibližně nahradit pomocí jiných funkcí (které dokážeme spočítat, jako jsou třebay ty mocniny), a existují i jiné způsoby, jak hodnotu nějaké funkce přibližně určit - ale úplně obecný postup na to asi není. S každou konkrétní funkcí si musíme trochu pohrát.

A některé funkce vzdorují dost úspěšně - například taková Riemannova zeta funkce - né že bychom její hodnoty nedokázali spočítat, ale výsledky jsou do jisté míry nepředvídatelné (alespoň prozatím) - narozdíl třeba od funkce sinus, která se stále periodicky opakuje. Zeta funkce vykazuje v jistém smyslu nepředvídatelné chování - a protože to dosud nikdo nedokázal úplně vyřešit, tak je stále na seznamu největších matematických problémů tisíciletí.

misaH · 27. 02. 2019 21:51

↑ MichalAld:

ZŠ

MichalAld · 27. 02. 2019 22:31

↑ misaH:
No tak to přelož do řeči základoškoláků .... já se to snažil napsat tak jednoduše, jak jen to šlo (a ty věty, co obsahují cizí slova nejsou až tak důležité, takže se nic nestane, když jim nebude rozumět). Ale třeba to jde lépe (při zachování myšlenky)...

MichalAld · 28. 02. 2019 07:59

↑ katie200303:

Když se ještě vrátím k tomu "vzorci" pro přibližný výpočet funkce sinus,

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}...$

Když to chceme spočítat, musíme se nějak rozhodnout, kolik členů z té nekonečné řady vezmeme. Závisí to jednak na tom, jak chceme mít výsledek přesně, ale také na tom, jak velké je to x. Pokud bude x malé (blízké nule), tak nám může celkem dobře stačit i jeden jediný člen celé té řady. Takže pro malá x můžeme klidně říct, že

sin x je přibližně rovno x.

Např. pro x = 0.01 je sin x = 0,0099998..., pokud tedy prohlásíme, že sin(0.01) je prostě 0.01, tak se od pravdy lišíme méně než o 0.0000002

PS: x pro funkci sinus musíme uvažovat v radiánech, doufám, že víš, co to zhruba je. Těch našich 0.01 rad odpovídá zhruba půl stupně. Můžeš si klidně vyzkoušet, že zhruba do 5 stupňů tahle "náhrada" sin x -> x funguje docela dobře. Pro větší úhly bychom museli přidat další člen řady.

A není těžké ukázat také to, že nepotřebujeme počítat siny a cosiny z větších úhlů než 45°, zbytek už z toho vykombinujeme.

katie200303 · 28. 02. 2019 13:29

↑ MichalAld: Já to pochopila. Děkuju

Matematické Fórum

#1 27. 02. 2019 07:57

Funkce bez kalkulačky, tabulek

#2 27. 02. 2019 08:31

Re: Funkce bez kalkulačky, tabulek

#3 27. 02. 2019 08:48

Re: Funkce bez kalkulačky, tabulek

#4 27. 02. 2019 11:38

Re: Funkce bez kalkulačky, tabulek

#5 27. 02. 2019 16:49

Re: Funkce bez kalkulačky, tabulek

#6 27. 02. 2019 21:51

Re: Funkce bez kalkulačky, tabulek

#7 27. 02. 2019 22:31

Re: Funkce bez kalkulačky, tabulek

#8 28. 02. 2019 07:59

Re: Funkce bez kalkulačky, tabulek

#9 28. 02. 2019 13:29

Re: Funkce bez kalkulačky, tabulek

#10 05. 04. 2019 19:04 Příspěvek uživatele Rádce byl skryt uživatelem Stýv. Důvod: blud

Zápatí