Matematické Fórum

Ginco · 25. 08. 2009 01:40

ahoj všem potřeboval bych prosím malou radu

nevím jak dál...

$\lim_{t \to 0}\frac{2sin{\frac{(x+t)(y+2t)-xy}{2}cos{\frac{(x+t)(y+2t)+xy}{2}}}}{t}$

nevím jakou úpravu mám dál použít...dekuji za vecné rady

Mephisto · 25. 08. 2009 06:18

No tak L'Hospitalovým pravidlem ne? Tohle je na to na první pohled jak dělané... t ve jmenovateli zmizí, a v čitateli nic nového co by dělalo paseku vzniknout nemůže... Ne?

lukaszh

↑ Ginco:
$\lim_{t\to0}\frac{2\cdot\sin\[\frac{(x+t)(y+2t)-xy}{2}\]}{t}\cdot\lim_{t\to0}\cos\[\frac{(x+t)(y+2t)+xy}{2}\]=\cos(xy)\cdot\lim_{t\to0}\frac{2\cdot\sin\[\frac{(x+t)(y+2t)-xy}{2}\]}{t}$
Využijem vzťah
$\lim_{\alpha\to0}\frac{\sin\alpha}{\alpha}=1$
pričom $\alpha=\frac{(x+t)(y+2t)-xy}{2}$

Kondr · 25. 08. 2009 09:31

↑ Mephisto:Když počítáme derivaci z definice, děláme vlastně převod
$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ .
Na druhou stranu l'Hospitalem děláme převod
$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{f'(x+h)}1=f'(x)$ .
Ikdyž to vede k cíli, asi to není to, co po nás zadání chtělo.

Mephisto

sry, po ránu jsem ještě ani neviděl :) Teďka jsem se na to líp kouknul :) a udělal bych to ještě jinak:

Uvědomil bych si, že
$\sin(x+y)+\sin(x-y)=2\sin(x)\cos(y)$

Tu limitu tedy lze napsat jako
$\lim_{t\to0}\frac{\sin((x+t)(y+2t))-sin(xy)}{t}$

a po roznásobení
$\lim_{t\to0}\frac{\sin(xy+(2x+y)t+2t^2)-sin(xy)}{t}$

No a odtud je porovnáním s definičním předpisem derivace funkce sin ihned krásně vidět výsledek:

$\cos(xy)*(2x+y)$