Matematické Fórum

Ginco · 25. 08. 2009 16:51 — Editoval Ginco (25. 08. 2009 16:52)

ahoj, opět nechci nějak zadělávat forum a řeším příklady ke zkoušce.

mam dotaz : Rozdodněte o spojitosti fce

f(x,y)= $x.sin{\frac{1}{y}{+y.sin{\frac{1}{x}}$ x<>0 a y<>0
$0$ x=0 a y=0

dvojnásobné limity neexistuji
ale z odhadu jsem došel, že : $|x.sin{\frac{1}{y}{+y.sin{\frac{1}{x}}|\le{|x|+|y|}$
a poslední část jde k nule(x jdouci k nule a y jdouci k nule)

Ovšem ptám se : pokud mi vyjde vlaszní limita-dvojná, tak je ta limita rovna tomu co mi vyšlo?

Vím, že pokud mi vyjdou stejné dvojnásobné limity, tak mi to nic nezarucuje, ale kdyz mi nevyjdou dvojnásobné a vyjde dvojná, tak mi to stačí?

děkuju

Rumburak · 25. 08. 2009 17:23

Neměla být fce f dodefinována předpisem "f(x,y) = 0 pokud x = 0 NEBO y = 0" ?
To by byl potom dost významný rozdíl proti
" f(x,y) = 0 pro x = 0 A y = 0 ", což by znamenalo pouze f(0,0) = 0 .

Ginco · 25. 08. 2009 17:36

↑ Rumburak:
ano máš pravdu je to tak...

Ginco · 25. 08. 2009 17:40

našel jsem další příklad...

Najděte obor konvergence a sečtěte řadu

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}e^{nx}$

pokud řadu zderivuji, tak mi vyjde : $\sum_{n=1}^{\infty}e^{nx}$

s čímž se dá pracovat, ale bohužel nevím co s tím

Pavel Brožek · 25. 08. 2009 18:35

↑ Ginco:

Je to geometrická řada. Stačí to jako rada?

Ginco · 25. 08. 2009 18:39

↑ BrozekP:

děkuju za radu, vím, že je to geo. řada, ale když určím součet, tak pak ten soucet staci zintegrovat? popripade, jaké budou meze...

a jak to pak tedy bude s oborem konvergence původní řady, kdyz urcim obor pto zderivovanou? děkuju

Pavel Brožek

↑ Ginco:

Použijeme větu, která říká, že když

- $f_n(x)$ má na intervalu $I$ derivaci,
- $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ konverguje pro nějaké $x_0\in I$ a
- $\sum_{n=1}^{\infty}f'_n(x)$ konverguje na $I$ stejnoměrně,

pak

- $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ konverguje na $I$ (stejnoměrně na každém omezeném podintervalu $I$ ) a
- $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ má na $I$ derivaci $f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f'_n(x)$ .

Ginco · 25. 08. 2009 19:07

↑ BrozekP:

díky

Pavel Brožek

↑ Ginco:

Jdu na to zbytečně složitě, dá se to snadno převést na mocninnou řadu pomocí substituce $y=e^x$ :-). Pro mocninné řady už máme hezčí věty.

Ginco · 25. 08. 2009 20:52

nemohl by mi někdo pl poradit jak změnit meze, když transformuju do polárních souřadnic?

$1\le{x^2+y^2\le{2y}}$

Pavel Brožek · 25. 08. 2009 22:03

To asi nebude nic hezkého, určitě se to nedá nějak obejít? Jaké je původní zadání?

kaja(z_hajovny) · 25. 08. 2009 22:09

pokud mam $x^2+y^2<2y$ , potom $r^2<2r\sin\phi$ a $r<2\sin\phi$

Ginco · 25. 08. 2009 22:09

↑ BrozekP:

uvažujte dvojný integrál

$\int\int {f(x,y)dxdy}$

pod těmi integrály je množina omega

pro kterou platí zmíněné omezení, dokonce není ani zadáno f(x,y)= ...

což nechápu.... ?? :(

Ginco · 25. 08. 2009 22:10

↑ kaja(z_hajovny):

ok takže 0<r<2sin fí

ale co s fí?

kaja(z_hajovny)

↑ Ginco:
Určitě tambude ještě něco jiného než jenom uvažujte :)
Chtějí to převést do polárních souřadnic? Jestli jo, nakreslete si obrázek té množiny a použijte nerovnost z mého příspěvku výše. Jestli ne, tak ten integrál jenom uvažujte a nic s ním nedělejte :).

kaja(z_hajovny)

↑ Ginco:
Ne, určitě je $1<r$ , z nerovnice $1<x^2+y^2$ .
Na to phi pomuze obrazek.

Ginco · 25. 08. 2009 22:13

↑ kaja(z_hajovny):

a nakresli množinu

b převedte daný integrál na oba dvojnásobné .... nevím jak na ten druhy

c transformujte daný integrál do pol. souradnic a pomoci nej zjistete míru oblasti...tu míru oblasti taky netušim...

Pavel Brožek · 25. 08. 2009 22:17

$\varphi\in$\frac{\pi}6,\,\frac56\pi$$ , to zjistíme snadno, když najdeme průsečíky dvou kružnic daných rovnostmi v podmínce.

Trochu jsem se ukvapil, ty meze jsou hezké.

Ginco · 25. 08. 2009 22:17 — Editoval Ginco (25. 08. 2009 22:18)

obrázek jsem zkusil

je to tak, že je to průnik 2 částí

1 vše vně kružnice o poloměru 1, stred v (0,0)

2. kruh se stredem (0,1) a s polomerem 1 ?

Ginco · 25. 08. 2009 22:24

ok

proste resim soustavu, a pak jen řeším 1/2 = sin(fí)

Ginco · 25. 08. 2009 22:25

mohl byste mi někdo prosím napovědět jak bude vypadat ten druhý dvojnásobný integrál?

Pavel Brožek

$\int_{\frac{\pi}6}^{\frac56\pi}\quad\int_1^{2\sin\varphi}f(r,\varphi)\cdot r \,\textrm{d}r\,\textrm{d}\varphi$

Ginco · 25. 08. 2009 22:33

↑ BrozekP:

:-)

děkuji, ale já to mám nejprve převést na oba dvojnásobné..můžeš mě poradit?

a prosím poslední prosba, jak pomocí té transformace zjistím tu míru té množiny?

opravdu se omlouvám za neznalost, ale nějak jsem toto téma podcenil :-(

kaja(z_hajovny) · 25. 08. 2009 22:49

Ginco napsal(a):
↑ kaja(z_hajovny):

b převedte daný integrál na oba dvojnásobné .... nevím jak na ten druhy

Asi jste nenapsal, ktery je ten prvni. Potom tezko hadat, ktery je druhy.

Míru oblasti vypočítáte jako integrál z jedničky. Dosadíte tedy f(x,y)=1.

Pavel Brožek

↑ Ginco:

Omlouvám se, nepozorně čtu :-). Snad už odpovím na otázky, na které se ptáš.

Zřejmě $r\in(1,\,2)$ . Meze pro úhel určíme jako průsečík kružnice $x^2+y^2=2y$ a kružnice $x^2+y^2=r^2$ . Vyřešením soustavy dostaneme

$x=\pm\frac{r}2\sqrt{4-r^2}\nl y=\frac{r^2}2$

Z toho už snadno určíme tangens úhlu $\tan\varphi=\pm\frac{r}{\sqrt{4-r^2}}$ .

Takže integrál bude

$\int_1^2\qquad\int_{\arctan$\frac{r}{\sqrt{4-r^2}}$}^{\arctan$-\frac{r}{\sqrt{4-r^2}}$}f(r,\varphi)\cdot r \,\textrm{d}\varphi\,\textrm{d}r$

Matematické Fórum

#1 25. 08. 2009 16:51 — Editoval Ginco (25. 08. 2009 16:52)

úlohy z analýzy

#2 25. 08. 2009 17:23

Re: úlohy z analýzy

#3 25. 08. 2009 17:36

Re: úlohy z analýzy

#4 25. 08. 2009 17:40

Re: úlohy z analýzy

#5 25. 08. 2009 18:35

Re: úlohy z analýzy

#6 25. 08. 2009 18:39

Re: úlohy z analýzy

#7 25. 08. 2009 18:50 — Editoval BrozekP (25. 08. 2009 18:51)

Re: úlohy z analýzy

#8 25. 08. 2009 19:07

Re: úlohy z analýzy

#9 25. 08. 2009 19:24 — Editoval BrozekP (25. 08. 2009 19:27)

Re: úlohy z analýzy

#10 25. 08. 2009 20:52

Re: úlohy z analýzy

#11 25. 08. 2009 22:03

Re: úlohy z analýzy

#12 25. 08. 2009 22:09

Re: úlohy z analýzy

#13 25. 08. 2009 22:09

Re: úlohy z analýzy

#14 25. 08. 2009 22:10

Re: úlohy z analýzy

#15 25. 08. 2009 22:11 — Editoval kaja(z_hajovny) (25. 08. 2009 22:11)

Re: úlohy z analýzy

#16 25. 08. 2009 22:12 — Editoval kaja(z_hajovny) (25. 08. 2009 22:12)

Re: úlohy z analýzy

#17 25. 08. 2009 22:13

Re: úlohy z analýzy

#18 25. 08. 2009 22:17

Re: úlohy z analýzy

#19 25. 08. 2009 22:17 — Editoval Ginco (25. 08. 2009 22:18)

Re: úlohy z analýzy

#20 25. 08. 2009 22:24

Re: úlohy z analýzy

#21 25. 08. 2009 22:25

Re: úlohy z analýzy

#22 25. 08. 2009 22:27 — Editoval BrozekP (25. 08. 2009 22:27)

Re: úlohy z analýzy

#23 25. 08. 2009 22:33

Re: úlohy z analýzy

#24 25. 08. 2009 22:49

Re: úlohy z analýzy

Ginco napsal(a):

#25 25. 08. 2009 22:55 — Editoval BrozekP (25. 08. 2009 23:01)

Re: úlohy z analýzy

Zápatí