Matematické Fórum

Constantine · 26. 08. 2009 15:34

zdravím, nevím jak tento integrál rozložit na parciál zlomky, tak kdyby byl někdo tak ochoten a pomohl mi, prosím i s postupem, předem děkuji

$\int\frac{2t}{t^2-2t+1}$

Mephisto · 26. 08. 2009 15:42

Tohle už je parciální zlomek. To už se dál nerozkládá. K cíli vede, že si to vyjádříš jako součet dvou integrálů

$\int \frac{2t}{t^2-2t+1} dt = \int \frac{2t-2}{t^2-2t+1} dt + 2\int \frac{1}{t^2-2t+1} dt$

přičemž ten první snadno spočítáš substitucí
$z=t^2-2t+1$

a ten druhý substitucí
$z=t-1$

Olin · 26. 08. 2009 15:47

Možná bych zkusil použít
$t^2 - 2t + 1 = (t-1)^2$
třeba to trochu zjednoduší situaci.

Mephisto

jééé já jsem ale matěj, no jo to je tak když člověk půlkou mozku myslí na pracovní záležitosti :)

Beru zpět co jsem psal: To se samozřejmě MÁ ještě rozložit na parciální zlomky, i když k cíli vede i to jak jsem to psal dříve, včetně těch substitucí. Ale to moje tvrzení, že to zadání už je ve tvaru parciálního zlomku, prostě byla mystifikace.

Správný rozklad na parciální zlomky tedy zní
$\int \frac{2t}{t^2-2t+1} dt = \int \frac{2}{t-1} + \frac{2}{(t-1)^2} dt$

a dostaneš se k němu tak, že hledáš konstanty A, B tak, aby
$\frac{A}{t-1} + \frac{B}{(t-1)^2} = \frac{2t}{(t-1)^2}$

Rumburak

$I(t) = \int\frac{2t}{t^2-2t+1}\text{d} t = \int\frac{2t}{(t-1)^2}\text{d}t$
Vzhledem k tomu, že jmenovatel zlomku je "úplným čtvercem", typický rozklad na parciální zlomky, kdy ve jmenovateli je vždy polynom 1. stupně,
neprovádíme, ale postupujeme například takto:
$I(t) = \int\frac{2t - 2}{(t-1)^2}\text{d}t \,+ \int\frac{2}{(t-1)^2}\text{d}t = A(t) + B(t)$ ,
kde
$A(t) = \int\frac{2(t - 1)}{(t-1)^2}\text{d}t = 2 \int\frac{1}{t-1}\text{d}t = 2 \,\ln\,|t-1| \,+\, C$ ,
$B(t) = \int\frac{2}{(t-1)^2}\text{d}t = 2\int(t-1)^{-2}\text{d}t = 2\, \frac{1}{-2+1}(t-1)^{-2 +1} \,+\, D = -\frac{2}{t-1} \,+\, D$ .
V obou výpočtech jsem "mlčky" použil substituci t-1 = u .

EDIT. Je to vlastně totéž, co poněkud metodičtěji popsal rychlejší ↑ Mephisto: ve svém bezprostředně předchozím příspěvku.

Mephisto

No to je malinko nepřesné, to přece není tak, že když je jmenovatel zlomku úplným čtvercem, tak neprovádíme rozklad na parciální zlomky. V nejjednodušším případě, jako je tento, ho skutečně provádět nemusíme, ale v komplikovanější situaci se tomu nevyhneš.

Ono se totiž často zapomíná na to (jako se to stalo mě :D) že pro každý výraz typu
$\frac{1}{(ax+b)^n}$

v tom původním integrálu musí být v tom parciálním rozkladu členy
$\frac{A_1}{(ax+b)^1}+\frac{A_2}{(ax+b)^2}+\frac{A_3}{(ax+b)^3}+\dots+\frac{A_n}{(ax+b)^n}$

Mephisto · 26. 08. 2009 16:15

a zcela obdobně, pokud
$ax^2+bx+c$
je ireducibilní v R, pak pro každý zlomek typu

$\frac{1}{(ax^2+bx+c)^n}$
v tom původním integrálu, se v tom tvrau, ve kterém hledám ten parciální rozklad, musejí objevit členy

$\frac{A_1x+B_1}{(ax^2+bx+c)^1}+\frac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2}+\frac{A_3x+B_3}{(ax^2+bx+c)^3}+\dots+\frac{A_nx+B_n}{(ax^2+bx+c)^n}$

Rumburak · 26. 08. 2009 16:15

↑ Mephisto:
S těmi složitějšími případy máš pravdu, o nich jsem neuvažoval.

Matematické Fórum

#1 26. 08. 2009 15:34

rozklad na parciální zlomky

#2 26. 08. 2009 15:42

Re: rozklad na parciální zlomky

#3 26. 08. 2009 15:47

Re: rozklad na parciální zlomky

#4 26. 08. 2009 15:57 — Editoval Mephisto (26. 08. 2009 15:59)

Re: rozklad na parciální zlomky

#5 26. 08. 2009 16:00 — Editoval Rumburak (26. 08. 2009 16:12)

Re: rozklad na parciální zlomky

#6 26. 08. 2009 16:11 — Editoval Mephisto (26. 08. 2009 16:11)

Re: rozklad na parciální zlomky

#7 26. 08. 2009 16:15

Re: rozklad na parciální zlomky

#8 26. 08. 2009 16:15

Re: rozklad na parciální zlomky

Zápatí