Matematické Fórum

Flaky · 31. 03. 2019 17:42 — Editoval Flaky (31. 03. 2019 17:44)

Dobrý den,

chtěl bych se zeptat, kdybych chtěl ukázat, že zobrazení $T:C^{1}[0,1] ->C[0,1]$ def. jako T(f)=derivace f není spojité v nule pomocí definice spojitosti přes okolí, tj bych chtěl najít nějakou funkci z okolí $f$ , že $T(f)$ neleží v okolí funkce derivace f, kde okolím funkce $f$ myslím okolí $f(x)+\varepsilon$ a $f(x)-\varepsilon$ . Jak bych takovou konkrétní funkci mohl najít?

Bati · 31. 03. 2019 18:12

↑ Flaky:
A proc je to podle tebe nespojity?

Flaky · 31. 03. 2019 18:41 — Editoval Flaky (31. 03. 2019 18:41)

No, nejdříve jsem chtěl ukazovat spojitost, nicméně mi bylo řečeno, že je nespojitý, tak jsem chtěl zkusit nespojitost v nule.

jardofpr · 31. 03. 2019 21:17

ahojte

↑ Flaky:

nepíšeš s akou normou/metrikou pracuješ na daných priestoroch,
čo by mala byť súčasť zadania

stáva sa že od toho závisí odpoveď, čo verím je aj tento prípad

Flaky · 31. 03. 2019 21:58 — Editoval Flaky (31. 03. 2019 22:03)

Bohužel, žádná norma mi zadána nebyla. Právě proto jsem chtěl využít definice spojitosti.

jardofpr

Flaky napsal(a):
Bohužel, žádná norma mi zadána nebyla. Právě proto jsem chtěl využít definice spojitosti.

no nepôjde to podľa mňa bez normy (alebo predstave o topológii priestorov čo hádam nie je hľadisko tvojho cvičenia)

v pôvodnom príspevku píšeš vágne o okolí .. t.j. buď máš aspoň normu alebo nejak definované otvorené množiny

nemáte niečo také že ak sa nepovie inak beriete nejakú konkrétnu normu?

my sme mali kedysi ak si dobre spomínam napr. na $C^k[a,b]$ priestore $||f ||_{C^k} = \sum_{i=0}^k\sup_{x\in [a,b]}|f^{(i)}(x)|$

a tú sme brali automaticky ak nebolo uvedené inak

to by znamenalo spojité zobrazenie v tomto prípade, ale nemusí to byť tak ak pracuješ s inými normami

Flaky · 01. 04. 2019 08:03

↑ jardofpr: No, spojitost jako takovou na top. vektorových prostorech máme definovanou, právě proto bych toho chtěl využít.

jardofpr · 01. 04. 2019 11:26

↑ Flaky: to je síce fajn že to máte definované,

ale keby si chcel toto overovať z definície spojitosti na TP tak mi to príde že musíš tiež vedieť
s akým systémom otvorených množín pracuješ na daných priestoroch

čo mimochodom tuším že keď tak nebude žiadna sranda

určite si napísal celé zadanie?

Bati · 01. 04. 2019 16:37

Presne tak.. Aby slo mluvit o spojitosti T, je treba znat topologii na X a Y. Navic, co se tyce mnozin C a C1, myslim ze jsem nikdy nevidel "rozumnou" topologii, ktera by nebyla zadana nejakou normou a v tom pripade se s temi okolimi da pracovat v podstate stejne jako v Euklidovskem prostoru. O trochu zajimavejsi to je teprve s $C^{\infty}$ .

Flaky · 01. 04. 2019 19:34

↑ jardofpr:

Ano, určitě jsem napsal celé zadání.

jardofpr · 01. 04. 2019 20:55

↑ Flaky:

tak potom mi to príde že nie je úplné alebo implicitne uvažujete konkrétnu štruktúru na daných priestoroch

Flaky · 15. 04. 2019 04:23

A jak by situace vypadala, kdybych uvážil klasické supremové normy na obou prostorech?

vlado_bb · 15. 04. 2019 07:20

↑ Flaky: V takom prípade by spojitosť v nulovej funkcii znamenalo, že ak je funkcia blízko nuly, tak má aj malú deriváciu. Zrejme nebudeš mať problém nájsť príklad, že to tak nemusí byť.

Flaky · 16. 04. 2019 00:56

↑ vlado_bb:

Co je myšleno tím, že je funkce blízko nuly?

vlado_bb · 16. 04. 2019 06:00

↑ Flaky: Mam na mysli vzdialenost od nulovej funkcie v supremovej metrike, tu, o ktorej sa hovori v definicii spojitosti.

Flaky · 16. 04. 2019 06:59 — Editoval Flaky (16. 04. 2019 07:03)

↑ vlado_bb:

Tj toto ?

$\forall \varepsilon >0\exists \delta >0:\parallel f\parallel_{C^{1}} \le \delta \Rightarrow \parallel f^{(1)}\parallel_{C} \le \varepsilon$

vlado_bb · 16. 04. 2019 07:30

↑ Flaky: Ano, toto. Podla toho, co pises v ↑ Flaky:, budu obe normy supremove.

Flaky · 16. 04. 2019 08:15

Takze hledám funkci, pro kterou nebude tato implikace platit, přičemž tedy $\parallel f\parallel _{C^{1}} =sup|f^{(1)}(x)|$ a $\parallel f\parallel _{C}=sup|f(x)|$ , kde $x\in [0,1]$ ano?

vlado_bb · 16. 04. 2019 09:57

↑ Flaky: Ano, presne tak. Teda - cielom je ukazat, ze pre (napriklad) $\varepsilon = 1$ nie je mozne najst vhodne $\delta$ . K tomu staci ukazat ze existuje funkcia lubovolne blizka nule s pomerne velkou derivaciou ... ale to sa uz opakujem.

Flaky · 16. 04. 2019 13:09

↑ vlado_bb:

Hm, kdybych si vzal ln(x), pak na <0,1> je supremum ln(1)<1, , ale 1/x na <0,1> má sup neomezené..

vlado_bb · 16. 04. 2019 13:25

↑ Flaky:Pozri lepsie, co som napisal. Navyse, $\ln x$ nie je funkcia definovana na $[0,1]$ .

Bati · 16. 04. 2019 13:46

Panove, prijde mi, ze to tu hrozne motate. Tohle
$\parallel f\parallel _{C^{1}} =sup|f^{(1)}(x)|$
neni ani norma (kvuli konstatnim funkcim). Kdyz uz tak
$\parallel f\parallel _{C^{1}} =sup|f^{(1)}(x)| +sup|f(x)|$ ,
ale v tom pripade plyne okamzite z definic ze operator derivace je spojity z C1 do C. Pokud v prostoru C1 vezmu jenom supremovou normu, tj. stejnou normu jako v C, spojitost evidentne neplati kvuli ↑ vlado_bb:

vlado_bb · 16. 04. 2019 13:56

↑ Bati:Ano, ja som to (podla poslednej informacie zadavatela) chapal ako zobrazenie v priestore vsetkych ohranicenych spojitych funkcii na $[0,1]$ so supremovou metrikou.

Rumburak

↑ Flaky:

Jen rozvedu nápovědu kolegy ↑ vlado_bb: :

EDIT.
Zkoumej funkci $f(x) = \frac {\sin n^2 x}{n}$ pro různá $n \ne 0$ .

vlado_bb · 16. 04. 2019 15:02

↑ Rumburak: Len upresnim - nejde o napovedu, ale uplne riesenie. Nevadi, verim ze zadavatel bude moct prezit radost z uspechu pri rieseni inych problemov. Chcel som mu to umoznit, nic viac.

Matematické Fórum

#1 31. 03. 2019 17:42 — Editoval Flaky (31. 03. 2019 17:44)

Spojitost zobrazení

#2 31. 03. 2019 18:12

Re: Spojitost zobrazení

#3 31. 03. 2019 18:41 — Editoval Flaky (31. 03. 2019 18:41)

Re: Spojitost zobrazení

#4 31. 03. 2019 21:17

Re: Spojitost zobrazení

#5 31. 03. 2019 21:58 — Editoval Flaky (31. 03. 2019 22:03)

Re: Spojitost zobrazení

#6 31. 03. 2019 22:35 — Editoval jardofpr (01. 04. 2019 00:51)

Re: Spojitost zobrazení

Flaky napsal(a):

#7 01. 04. 2019 08:03

Re: Spojitost zobrazení

#8 01. 04. 2019 11:26

Re: Spojitost zobrazení

#9 01. 04. 2019 16:37

Re: Spojitost zobrazení

#10 01. 04. 2019 19:34

Re: Spojitost zobrazení

#11 01. 04. 2019 20:55

Re: Spojitost zobrazení

#12 15. 04. 2019 04:23

Re: Spojitost zobrazení

#13 15. 04. 2019 07:20

Re: Spojitost zobrazení

#14 16. 04. 2019 00:56

Re: Spojitost zobrazení

#15 16. 04. 2019 06:00

Re: Spojitost zobrazení

#16 16. 04. 2019 06:59 — Editoval Flaky (16. 04. 2019 07:03)

Re: Spojitost zobrazení

#17 16. 04. 2019 07:30

Re: Spojitost zobrazení

#18 16. 04. 2019 08:15

Re: Spojitost zobrazení

#19 16. 04. 2019 09:57

Re: Spojitost zobrazení

#20 16. 04. 2019 13:09

Re: Spojitost zobrazení

#21 16. 04. 2019 13:25

Re: Spojitost zobrazení

#22 16. 04. 2019 13:46

Re: Spojitost zobrazení

#23 16. 04. 2019 13:56

Re: Spojitost zobrazení

#24 16. 04. 2019 14:16 — Editoval Rumburak (17. 04. 2019 10:27)

Re: Spojitost zobrazení

#25 16. 04. 2019 15:02

Re: Spojitost zobrazení

Zápatí