Matematické Fórum

check_drummer · 09. 04. 2019 23:20

Jaký nejmenší obsah může mít trojúhelník v rovině, jehož všechny souřadnice vrcholů jsou celočíselné?

vanok · 09. 04. 2019 23:50 — Editoval Stýv (10. 04. 2019 00:01)

Ahoj ↑ check_drummer:,

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Andrejka3 · 10. 04. 2019 12:22

↑ check_drummer:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

check_drummer

↑ Andrejka3:
Přesně tak. :-) Ale chtěl jsem najít i jiný "zajímavější" důkaz.
(A taky je "zakázáno" použít výpočet obsahu rovnoběžníka pomocí determinantu. :-))

vanok · 11. 04. 2019 23:15

Ahoj ↑ check_drummer:,
Mozes vysvetlit tvoj text. Dakujem.
Chces povedat ze trojuholnik suradnic (0,0),(0,1), (1,0) v ortonormalnom repere nevyhovuje. ‘

check_drummer · 11. 04. 2019 23:40

↑ vanok:
Ahoj. Jen hledám nějaký zajímavý důkaz, takže důkaz, který využívá determinanty nebo Pickovu věty je zakázán. :-)

vanok · 12. 04. 2019 01:34

Ahoj ↑ check_drummer:
Ak dobre rozumiem, hladas dokaz obsahu trojuholnika ktoreho vrcholy su celociselne.

( a vzorec 1/2 ( baza x vyska) je povoleny v tvojich uvaha h?)

byk7 · 12. 04. 2019 10:21 — Editoval byk7 (12. 04. 2019 15:36)

↑ check_drummer:
Nevystačíme si s násobením nerovností? Nejmenší možná vzdálenost dvou mřížových bodů je jedna, takže pro obsah platí 1*1/2 ≤ S a takový trojúhelník zřejmě existuje.

check_drummer · 13. 04. 2019 21:18

↑ byk7:
Ahoj, ale kde nemáš jistotu, že výška trojúhelníka nemůže být "dostatečně malá", aby ten trojúhelník měl i dostatečně malý obsah?

check_drummer · 13. 04. 2019 21:19

↑ vanok:
Ahoj, ano to povoleno je, ale otázka je, jak odhadnout výšku. Výška může být dle mého libovolně malá, ale pak zase bude dostatečně velká základna.

MichalAld

Po třetím panáku mě napadl důkaz pomocí vektorového součinu - ale je možné, že jsem něco přehlédl, přeci jen je už skoro jedna ráno...

Určitě se nedopustíme žádné újmy na obecnosti, když jeden vrchol trojúhelníku položíme do středu souřadné soustavy. Dvě strany vedoucí ze středu označíme jako vektory A, B.

Obsahu trojúhelníku určený těmito dvěma vektory je polovina jejich vektorového součinu, a ten je

$A \times B = A_xB_y - A_yB_x$

Pokud požadujeme, aby složky vektorů byla celá čísla, tak i ten výraz (vektorový součin) musí být celé číslo. Tudíž pokud to nebude zrovna nula, tak to může být nejméně jednička (a obsah trojúhelníka je tedy 1/2).

Ale teď koukám, že to je vlastně ten "zakázaný determinant"...

vanok · 20. 04. 2019 21:44 — Editoval vanok (20. 04. 2019 21:49)

Pozdravujem ↑ check_drummer:,
Ja si myslim, ze mnozina « minimalnych trojuholnikov » je nekonecna (spocitatelna) a aj pre kazdu moznu vysku mame nekonecne vela takych trojuholnikov.
No vsak mnozina vysok ktore su urcene takymi trojuhonikmi mriezky je nekonecna spocitatelna.
(Treba viac podrobnosti?)

Matematické Fórum

#1 09. 04. 2019 23:20

Trojúhelník na mřížových bodech

#2 09. 04. 2019 23:50 — Editoval Stýv (10. 04. 2019 00:01)

Re: Trojúhelník na mřížových bodech

#3 10. 04. 2019 12:22

Re: Trojúhelník na mřížových bodech

#4 11. 04. 2019 22:28 — Editoval check_drummer (11. 04. 2019 22:29)

Re: Trojúhelník na mřížových bodech

#5 11. 04. 2019 23:15

Re: Trojúhelník na mřížových bodech

#6 11. 04. 2019 23:40

Re: Trojúhelník na mřížových bodech

#7 12. 04. 2019 01:34

Re: Trojúhelník na mřížových bodech

#8 12. 04. 2019 10:21 — Editoval byk7 (12. 04. 2019 15:36)

Re: Trojúhelník na mřížových bodech

#9 13. 04. 2019 21:18

Re: Trojúhelník na mřížových bodech

#10 13. 04. 2019 21:19

Re: Trojúhelník na mřížových bodech

#11 14. 04. 2019 00:55 — Editoval MichalAld (14. 04. 2019 01:00)

Re: Trojúhelník na mřížových bodech

#12 20. 04. 2019 21:44 — Editoval vanok (20. 04. 2019 21:49)

Re: Trojúhelník na mřížových bodech

Zápatí