Matematické Fórum

Durino · 21. 04. 2019 11:07 — Editoval Durino (21. 04. 2019 11:09)

Dobrý deň,

tento príspevok úzko súvisi s mojím predchádzajúcim.
Ako prosím Vás overím či funkcia $f(z) = z^2 - 2iz$ spĺňa cauchyho riemanovu vetu?

Zatiaľ som na internete našiel že: $\frac{\mathrm{d}u }{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} y}$ a $\frac{\mathrm{d}u }{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} x}$

Ale ja netuším ako dostanem to du alebo dx.
Za každú radu ďakujem.

Ferdish

Pokojne si mohol pokračovať v pôvodnej téme, keďže to s tým súvisí. Ale čo už...ak sa dajú príspevky z jednej témy pripastovať k inej, snáď to niekto z moderátorov opraví.

Do pôvodného predpisu svojej funkcie dosaď za $z=x+iy$ a uprav. Tvoja komplexná funkcia $f(z)$ tak prejde do tvaru $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ .
Z predpisu je zrejmé, že u je reálna a v imaginárna zložka takto upravenej funkcie.

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}x }$ resp. $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}y }$ znamenajú deriváciu podľa premennej v menovateli, teda buď podľa x alebo podľa y.
Avšak tvoje funkcie (zložky) u,v sú funkciami viacerých premenných (konkrétne x a y), teda namiesto úplnej derivácie budeš počítať parciálnu deriváciu.

Tá sa značí ako $\frac{\partial }{\partial x }$ resp. $\frac{\partial }{\partial y }$ , kedy derivuješ len podľa premennej v menovateli; druhú premennú počas danej derivácie považuješ za konštantu.

Inak nedá mi to neopýtať sa: čo ste preberali resp. čo ovládaš z teórie komplexných čísiel a funkcií komplexnej premennej? Tam sa totiž dané veci preberajú.
Keby si hneď na začiatku povedal, že danú problematiku neovládaš, mohol som ťa nasmerovať viac...čakám tvoju úprimnú odpoveď.

byk7 · 21. 04. 2019 11:55

↑ Durino: mimochodem, u druhé rovnosti ti tam chybí znaménko minus

Ferdish · 21. 04. 2019 12:28

↑ byk7:
Pravda, to je dosť podstatný detail.

Durino · 21. 04. 2019 13:12 — Editoval Durino (21. 04. 2019 13:13)

Aha Ďakujem mal som jeden príklad kde som to vyrátal ale ten bol už asi upravený - $f(z) = (2xy+2x-1) + i(y^2-x^2+2y)$ .

Tam mi vyšlo že ľavá strana sa rovná pravej teda je diferencovatelna.
Len stále mi uchádza asi jeden medzikrok.
Keď mám teda tento príklad zo začiatku.
$f(z) = z^2 - 2iz$ musím si ho upraviť aby som tam mal x a y.
A to spravím teda tak že $z = x + iy$
Takže to čo mám na začiatku upravím na toto?
$f(x+iy) = (x+iy)^2 - 2i(x+iy)$
a to následne zderivujem podľa x a y a dám do rovnosti?
no a problém je v tom že íčko teda imaginárnu zložku mám vľavo aj v pravo.
Ja sa fakt ospravedlnujem že to nechápem len som mal tak blbo rozvrh že cez prednášku z matiky som mal telesnú.

Ferdish

Po roznásobení vytkni íčko (hovorí sa mu imaginárna jednotka) pred zátvorku zo všetkých členov, ktoré ho obsahujú. To čo ti zostane v zátvorke, je imaginárna časť tvojej funkcie, teda funkcia v.

A ešte jedna rada ku štúdiu: tu aspoň vidíš, aké je dôležité chodiť na prednášky z matematických kurzov. Ak sa ti v rozvrhu kryjú predmety a nie je možné si ich presunúť, tak si človek musí zvoliť čo má vyššiu prioritu. Ak na prednášku nejdeš, tak je v tvojom vlastnom záujme si látku na nej preberanú doštudovať.

Durino · 21. 04. 2019 15:21 — Editoval Durino (21. 04. 2019 15:25)

No ja neviem nech rátam ako rátam stále mi to vychádza odlišne ale vo výsledku je že je diferencovateľná.
$f(x+iy) = x^2 + 2xyi - y^2 -2xi -2yi^2$
$f(x+iy) = (x^2 - y^2) +i(-2xy -2x -2yi)$
a z toho následne
derivacia du/dx
$2x$
derivacia dv/dy
$2x-2i$

takže niečo ešte robím zle?
A hej už som zistil že tá matika je trochu viac dôležitá ako telesná :D

Ferdish

Čomu je rovná druhá mocnina imaginárnej jednotky, ktorá ti vystupuje v prvom riadku pri poslednom člene?

A hlavne bacha, už ťa na to upozorňoval aj kolega ↑ byk7:, musí platiť jednak $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ a tiež $\frac{\partial u}{\partial y}={\color{red}-}\frac{\partial v}{\partial x}$

Durino · 21. 04. 2019 17:35

Aha samozrejme už to vyšlo ďakujem :)

Ferdish · 21. 04. 2019 18:27

Niet začo a veľa zdaru pri štúdiu ;-)

Matematické Fórum

#1 21. 04. 2019 11:07 — Editoval Durino (21. 04. 2019 11:09)

Cauchyho Riemannova veta

#2 21. 04. 2019 11:43 — Editoval Ferdish (21. 04. 2019 11:56)

Re: Cauchyho Riemannova veta

#3 21. 04. 2019 11:55

Re: Cauchyho Riemannova veta

#4 21. 04. 2019 12:28

Re: Cauchyho Riemannova veta

#5 21. 04. 2019 13:12 — Editoval Durino (21. 04. 2019 13:13)

Re: Cauchyho Riemannova veta

#6 21. 04. 2019 13:33 — Editoval Ferdish (21. 04. 2019 13:46)

Re: Cauchyho Riemannova veta

#7 21. 04. 2019 15:21 — Editoval Durino (21. 04. 2019 15:25)

Re: Cauchyho Riemannova veta

#8 21. 04. 2019 16:04 — Editoval Ferdish (21. 04. 2019 16:04)

Re: Cauchyho Riemannova veta

#9 21. 04. 2019 17:35

Re: Cauchyho Riemannova veta

#10 21. 04. 2019 18:27

Re: Cauchyho Riemannova veta

Zápatí