Matematické Fórum

david_svec · 16. 05. 2019 18:52

Zdravím,

zaujala mě jedna věta: "Součin dvou částí kladného čísla N je maximální pokud ty dvě části jsou stejné."

To znamená, že když mám třeba číslo 100, tak součin 50*50 je největší.

A mě by zajímalo proč tohle platí. Hledám nějaký důkaz, ale nevím jak na to.

Děkuji za případné rady. :)

laszky · 16. 05. 2019 19:04 — Editoval laszky (16. 05. 2019 19:25)

↑ david_svec:

Ahoj.

Kdyz $n = a + (n-a)$ , pak

$a(n-a) = an -a^2 = \left(\frac{n}{2}\right)^2 - \left(\left(\frac{n}{2}\right)^2-an +a^2 \right) = \left(\frac{n}{2}\right)^2 - \left(\frac{n}{2}-a\right)^2 \leq \left(\frac{n}{2}\right)^2$ ,

nebot $- \left(\frac{n}{2}-a\right)^2\leq 0$ . Rovnost v uvedene nerovnici nastane, pokud $a=\frac{n}{2}$ .

david_svec · 16. 05. 2019 19:10

↑ laszky:

Mohl bych se zeptat jak jste přišla na tu nerovnici? Nějak mi to není jasné.

krakonoš

A co maximum funkce
f(x) rovno x.(n-x)?
Zespojitit to,nakreslit si parabolu,nebo pouzit derivaci funkce.

david_svec · 16. 05. 2019 19:36

↑ laszky:

Aha děkuji, už chápu. :)

↑ krakonoš:

Pravda takhle by to také šlo.

rovnice: $an-a^{2}=0$ má kořeny: $a_{1}=0$ a $a_{2}=n$
Jelikož se jedná o parabolu, tak maximum je aritmetický průměr těchto kořenů. čili n/2

díky za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 16. 05. 2019 18:52

důkaz - součin dvou čísel

#2 16. 05. 2019 19:04 — Editoval laszky (16. 05. 2019 19:25)

Re: důkaz - součin dvou čísel

#3 16. 05. 2019 19:10

Re: důkaz - součin dvou čísel

#4 16. 05. 2019 19:17 — Editoval krakonoš (16. 05. 2019 19:28)

Re: důkaz - součin dvou čísel

#5 16. 05. 2019 19:36

Re: důkaz - součin dvou čísel

Zápatí