Matematické Fórum

Atronach

Ahoj,

občas si připravuju vícenálevové (ne)čaje, u kterých je pravidlo, že každý následující nálev se musí louhovat delší dobu než ten předchozí, aby se vykompenzovala postupně zpomalující se schopnost čaje uvolňovat své látky do vody. Nejjednodušší způsob jak prodlužovat jednotlivé nálevy je k těm předchozím přičítat konstantní čas, např. 10s, jenomže taková Yerba Maté připravovaná tradičně může mít až 30 nálevů, jelikož se velké množství (suché) Yerby zalévá malým množstvím vody a první nálevy jsou tedy louhovány velmi krátce, aby nebyly příliš silné, a tudíž je možné takových nálevů připravit hodně, aby se zbytečně nevyhazovala načatá Yerba, která ještě může chvíli "pouštět". Přesto to ale dopadá tak, že poslední nálev je vodnatý, protože přírůstek 10s prakticky nečiní rozdíl oproti předchozímu nálevu, který mohl mít např. 1,5min. Chtěl bych tedy nálevy prodlužovat o přírůstek, který se sám neustále zvětšuje.

Absolutně neumím Matiku a nikdy jsem neuměl, takže nemám šajnu, jaký vzorec na to použít nebo jak jinak zjistit konstantní násobitel, kterým bych vynásobil první nálev o předem definovaném čase a poté tím stejným násobitelem vždy vynásobil čas předchozího louhování, aby mi vyšel čas louhování následujícího a po předem definovaném počtu nálevů přirozeně došel k poslednímu nálevu, jehož čas mi vyjde tak, že také bude souhlasit s tím, který je předem definovaný.

Znám tedy 3 veličiny:
1. 1. louhování má trvat 10s.
2. Poslední louhování má skončit na 120s.
3. Počet nálevů bych vždy přizpůsobil dané situaci (množství suché Yerby, množství vody, objem individuálních nálevů) - pro modelový případ řekněme 15 nálevů.
Je prosím možné z těchto 3 veličin dostat tu 4., což by byl ten konstantní násobitel, např. 1,2; 1,452; 1,368; ...)?

Děkuji za polopatické vysvětlení.

Atronach

Zatím jsem na to zkoušel jít přes exponenciální rovnici, ale ta nepočítá se všemi 3 proměnnými, které tady znám. Zvyšování probíhá neúměrně rychle a neskončím na 120s.

Hokusem pokusem jsem se dostal na přesné vypočítání, když jsou celkové počty nálevů 3, 5, 9, 17, ...ale nic mezi nimi. Postupoval jsem tak, že horní mezní hodnotu 120 jsem vydělil spodní mezní hodnotou 10, a výsledek (=12) jsem postupně odmocňoval, s každým odmocněním jsem dostal přesný násobek, se kterým se postupným násobením nálevů dostanu přesně na hodnotu 120. Jsou to hodně dlouhá čísla jako 3,464...; 1,861...; 1,364...; což je přesně co jsem chtěl, aby to u posledního nálevu neujíždělo o několik sekund. Ale bohužel ty počty nálevů postupují, jak už jsem napsal, (pro mě) nepředvídatelně a pro můj účel nevhodně. Bylo by možné to zjistit pro počty nálevů jako 10, 15, 20?

Díky.

edison · 19. 05. 2019 14:46 — Editoval edison (19. 05. 2019 15:32)

V podstatě tedy potřebuješ počítat:
$t=t_{min} \cdot a^{n}$

kde n je číslo kroku (první je 0), t je ten čas a Tmin počáteční, nejkratší čas.

a se vypočítá:
$a=\sqrt[P]{\frac{t_{max}}{t_{min}}}$

kde P je počet kroků (Nmax+1 protože první krok má 0)

protože odmocninu s obecným základem kalkulačky obvykle neumí, bude lepší to převést na mocninu převrácené hodnoty:
$\sqrt[y]{x} = x^{\frac{1}{y}}$

takže máme:
$a=\frac{t_{max}}{t_{min}}^{\frac{1}{P}}$

Edit: do prvního vzorce doplněno Tmin

Atronach

Super díky, tak už jsem si ty nálevy na kalkulačce spočítal pro několik pro mě nejčastějších scénářů o 10, 15 a 20 nálevech, a zapsal pro pozdější rychlé využití. Jenom bych podotknul, že P je počet kroků -1, jelikož pokud do tvojeho posledního vzorečku dosadím např. 7, tak až vypočítáním 8. nálevu dosáhnu 120s.

Edit: Vlastně to máš správně samozřejmě. Počet kroků je počet nálevů -1.

Honzc · 19. 05. 2019 16:22 — Editoval Honzc (19. 05. 2019 16:25)

↑ Atronach:
Jestli se dobře podíváš na počty nálevů, pro které jsi to zkoušel tím odmocňováním (tedy násobky druhé odmocniny), pak máš
3-1=2
5-1=4=2x2
9-1=8=2x4
17-1=16=2x8
Ty jsi tedy dělal druhé odmocniny s počátečním číslem 12. Tedy počty nálevů nejsou nepředvídatelné, ale jsou to vždy čísla, která vzniknou umocněním čísla 2 postupně přirozenými čísly (1,2,3,4,...) zvětšená o číslo jedna
A teď do toho zapojíme trochu matematiky
Jedná se tzv.geometrickou řadu, pro členy platí
$a_{n+1}=a_{n}q=a_{1}q^{n}$
Ty víš, že 1.louhování má být 10 s a n-té pak 120 s.
Dostaneš
$a_{1}=10$
$a_{n}=120=10q^{n-1}$
Tedy spočítáš
$q=12^{\frac{1}{n-1}}$
A jak se spočítá q pro n louhování
Pokud vím, tak na každé kalkulačce je tlačítko $y^{x}$ a to použiješ
např. pro počet louhování n=10
do paměti si dáš číslo 1:9=0,11111111111111111
a pak spočítáš 12 tlačítko y^x tlačítko MR tlačítko = a dostaneš výsledek 1,31798...(=q)

Několik hodnot
n(počet louhování) koeficient q
========================
3 3,4641
5 1,8612
10 1,31798
15 1,19422
20 1,13972