Matematické Fórum

Salvi · 21. 05. 2019 11:50

Dobrý den,
potřeboval bych poradit s použitím gramova determinantu pro určení vzdálenosti dvou mimoběžnýh podprostorů eukleidova prostoru. Raději napíši celý příklad, který počítám. Snad to nebude matoucí, ale naopak to pomůže.

Příklad:
_______
Určete vzdálenost přímky $p$ od roviny $\varrho$ v E4, kde
$p=\{A;\vec{u}\}$
$A=[0;3;-2;-5]$
$\vec{u}=(-2;0;-1;2)$

$\varrho =\{B;\vec{u},\vec{v}\}$
$B=[2;-4;0;4;]$
$\vec{v}=(-1;-1;-2;2)$
$\vec{w}=(1;2;1;0)$
_______

Už vím, tedy snad vím, že vzdálenost lze určit vzorcem
$d(p,\varrho )=\sqrt{\frac{G(\vec{u};\vec{v};\vec{w};(A-B))}{G(\vec{u};\vec{v};\vec{w})}}$
kde G značí gramův determinant, to je determinant čtvercové matice tvořené skalárními součiny uu, uv, uw, vu,.... Nicméně, pokud budu počítat v tomto příkladu gramův determinant, tak především ten v čitateli je velmi nehezký a dlouhý na výpočet, tedy jsem nalezl zjednodušení
$\sqrt{G(\vec{u};\vec{v};\vec{w};(A-B))}=[\vec{u};\vec{v};\vec{w};(A-B)]$
kde hranaté závorky značí vnější součin, toto platí ale pouze v případě, že dimenze eukleidova prostoru je shodná s počtem vektorů v gramově determinantu.
Má první otázka je tedy:
Je toto správně? Skutečně lze takové zjednodušení použít za mnou uvedených podmínek?
Pokud ano, trochu se to zjednoduší. ALE tento vzorec jsem našel pouze v jediném zdroji, nikde jsem ho nenašel používat na takovémto příkladu a navíc nelze použít při počítání vzdálenosti dvou mimoběžných rovin v E4.
Tedy má druhá otázka je:
Neexistuje nějaké zjednodušení vzorce pro vzdálenost d? Například zda nelze něco zkrátit, nebo použít dílčí vzoreček, na který jsem nenarazil. Pokud ne, jde skutečně o hrozně pracnou metodu determinantu z 16 a 9 skalárních součinů 4-rozměrných vektorů ve zlomku pod odmocninou? Pokud půjde navíc o dvě roviny, počet skalárních součinů ještě naroste.

Budu vděčný i za jakoukoliv terminologickou opravu, či obecně za jakoukoliv radu.

vanok · 21. 05. 2019 14:07

Ahoj ↑ Salvi:,
Iste vies ( z prenasky), ze Gram-ov determinant je zovseobecneny objem na druhu vektorov, ktore su v tom determinante.
Prave to vyuziva vzorec co si napisal vyssie $d(p,\varrho )=\sqrt{\frac{G(\vec{u};\vec{v};\vec{w};(A-B))}{G(\vec{u};\vec{v};\vec{w})}}$ ‘

Postup co pises je trochu dlhy, a pomoz si (apps co najdes na webe) ak ta to nebavi pocitat rucne.

Salvi · 21. 05. 2019 14:39

↑ vanok:
Sice jsem dálkový student, tudíž přednášky jsem neměl, ale ano, to vím.
Apps mi příliš nepomohou, učím se to na test, kde nejsou přípustné ani kalkulačky. Mnou uvedený postup skutečně dlouhý je a je to příšerně náchylné na překlepy, proto se zde dotazuji.

vanok · 21. 05. 2019 19:46 — Editoval vanok (21. 05. 2019 19:47)

↑ Salvi:

Ahoj, to je potom treba dufat, ze vam nedaju priliz komplikovane cvicenia na skusky.

Vela sily na to vsetko.

Salvi · 22. 05. 2019 11:11

↑ vanok:
Děkuji. Trochu se toho hrozím, psal jsem totiž od vyučujícího už jeden takový test a v gramově matici vycházela řada trojciferných čísel... asi v tom bude nějaký chyták, který jsem přehlédl.
Počítám tedy, že žádné zjednodušení neexistuje. Nechám téma ještě chvíli otevřené, jen tak pro jistotu.
A nevíte alespoň, jestli ten převod na vnější (smíšený) součin je správné?

plachype · 03. 02. 2020 15:32

Vzdálenost dvou rovin, respektive dvou afinních podprostorů se dá vypočítat velice snadno. Nejprve potřebujeme znát parametrické vyjádření daného afinního podprostoru, které se získá snadno z toho obecného. To parametrické vyjádření bude ve tvaru:

p + ker(A); kde p je partikulární řešení soustavy rovnic ("bod, který leží v afinním podprostoru") a ker(A) je jádro matice A, resp. homogenní řešení soustavy rovnic, které zadávají podprostor.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-02/38096_p%25C5%2599%25C3%25ADmky.png

Pokud máme už dvě parametrické vyjádření dvou různých afinních podprostorů, p + ker(A) a p' + ker(B), postupujeme dále.

Nejprve potřebujeme získat lineárně nezávislé vektory z $ker(A) \bigcup_{}^{} ker(B)$ . V našem případě to budou vektory (0, 2, 1) a (3, 2, 1). Ty jsou oba totiž vůči sobě lineárně nezávislé. Teď potřebujeme získat jejich vektorový součin, který je definovaný jako det(x1,..., xn-1, x). Pro výpočet je ale vhodnější mnemotechnická pomůcka:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-02/38558_det.png

kde e1 je vektor (1, 0, 0), e2 je (0, 1, 0) a e3 je (0, 0, 1) a svislé čáry znamenají determinant. Tím jsme získali vektor (0, 3, -6).

Tento vektor je tedy vektorovým součinem těchto dvou vektorů (ale vektorový součin funguje i pro více vektorů, avšak musí se vždy jednat o lineárně nezávislé vektory a jejích počet musí být n-1) a je kolmý na obě přímky, ve vašem případě byste získal vektor, který je kolmý na obě roviny.

Nyní potřebujeme spočítat projekci vektoru p - p' do směru vektoru (0, 3, -6). Projekce se spočítá snadno přes skalární součin (dejme tomu, že jsme v prostoru se standardním skalárním součinem).

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-02/39370_IMG_20200203_151454.jpg

A naposled už stačí jen spočítat velikost této projekce, která se získá jako norma vektoru (0, -2/5, 4/5).

$\sqrt{\langle (0, -2/5, 4/5) | (0, -2/5, 4/5)\rangle}$

Značky $\langle\rangle$ znamenají skalární součin.

Vzdálenost dvou afinních podprostorů je v tomto případě $\sqrt{20/25} = (2 \sqrt{5}) / 5$