Matematické Fórum

Pomeranc · 01. 06. 2019 21:40

Ahoj,
bojuji s dvěma důkazy a nemohu moc na to přijít.
V prvním důkaze je problém jenom se sigmaaditivitou. Řekla bych, že ta sigmaaditivita vychází z toho, že Hausdorffova míra je metrická, ale ve skriptech je to popsáno jinak. Druhý důkaz moc nechápu.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-06/17951_DK1.PNG

Pomeranc · 02. 06. 2019 14:53

A mně s tím nikdo nepomůže :( ?

byk7 · 02. 06. 2019 15:25

V těch skriptech
- věta 14.1.4 říká, že H^k je vnější míra,
- věta 14.1.8 pak říká, že vnější míra H^k je metrická (přitom se v důkazu používá, že to je opravdu vnější míra).

A pokud to dobře chápu, tak metričnost implikuje sigma-aditivitu pouze na vzdálených množinách, přitom my chceme sigma-subaditivitu na disjunktních množinách.
$\rho(A,B)>0\Rightarrow A\cap B=\emptyset\qquad\text{ale}\qquad A\cap B=\emptyset\not\Rightarrow\rho(A,B)>0$

> Stačí dokázat, že uzavřené množiny jsou $\gamma$ -měřitelné.

Jestliže jsou uzavřené množiny měřitelné, pak jsou z definice sigma-algebry měřitelné i otevřené množiny. Ale sigma-algebra borelovských množin je generovaná právě otevřenými množinami.

> Při ověřování $\gamma$ -měřitelnosti množiny F je naším úkolem ukázat, že platí $\gamma(T)\ge\gamma(T\cap A)+\gamma(T\setminus A)$ pro libovolnou množinu $T\subseteq P$ .

Tady se asi odvolávají na teorii míry – konkrétně na Caratheodoryho definici vnější míry.

Definice. Buď $X\neq\emptyset$ a $\mu^*$ vnější míra na $X$ . Množina $A\subseteq X$ je $\mu^*$ -měřitelná, pokud pro libovolnou podmnožinu $T\subseteq X$ platí $\mu^*(T)=\mu^*(T\cap A)+\mu^*(T\setminus A)$ .

Přitom ze subaditivity máme automaticky $\gamma(T)\le\gamma(T\cap F)+\gamma(T\setminus F)$ , stačí proto ukázat opačnou nerovnost. (Ve skriptech je asi překlep, podle mě tam chtějí mít F místo A.)

Pomeranc · 03. 06. 2019 15:54

↑ byk7:

Super, děkuji :) .

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2019 21:40

Důkazy-Hausdorffova míra

#2 02. 06. 2019 14:53

Re: Důkazy-Hausdorffova míra

#3 02. 06. 2019 15:25

Re: Důkazy-Hausdorffova míra

#4 03. 06. 2019 15:54

Re: Důkazy-Hausdorffova míra

Zápatí