Matematické Fórum

Petr11 · 03. 06. 2019 17:30

Dobrý den,
mohl by mi někdo prosím odvodit vztah pro dostředivé zrychlení ?

edison · 03. 06. 2019 21:57

Takové odvození by mohlo vypadat různě, podle toho, jaký typ školy navštěvuješ. Takže bude dobré napsat něco o škole, případně kam jsi se už dostal, resp. na čem zasek.

KennyMcCormick · 04. 06. 2019 05:43

Já bych možná napsal VŠ verzi, protože když to někdo neumí odvodit, tak asi nebude ani vědět, jak začít.

Rychlost je
$\mathbf v = v\boldsymbol{\tau}^0$ , kde $\boldsymbol{\tau}^0$ je jednotkový vektor ve směru rychlosti.

Zrychlení je
$\mathbf{a} = \frac{\d\mathbf{v}}{\d t}=\frac{\d v}{\d t}\boldsymbol{\tau}^0 + v\frac{\d \boldsymbol{\tau}^0}{\d t}=\frac{\d v}{\d t}\boldsymbol{\tau}^0 + v\frac{\d s}{\d t}\frac{\d \boldsymbol{\tau}^0}{\d s} = \frac{\d v}{\d t}\boldsymbol{\tau}^0 + v^2\frac{\d \boldsymbol{\tau}^0}{\d s}$ . (1)

První člen míří ve směru pohybu, tj. je to tečná složka zrychlení.

Zjistíme, jakým směrem míří druhý člen.

Protože $|\boldsymbol{\tau}^0| = 1$ , je
$\boldsymbol{\tau}^0\cdot\boldsymbol{\tau}^0=1$ . Protože diferenciál jedné je nula, platí
$\d(\boldsymbol{\tau}^0\cdot\boldsymbol{\tau}^0) = \d\boldsymbol{\tau}^0\cdot\boldsymbol{\tau}^0 + \boldsymbol{\tau}^0\cdot\d\boldsymbol{\tau}^0 = 0$ .

Skalární součin je komutativní, takže
$2\d\boldsymbol{\tau}^0\cdot\boldsymbol{\tau}^0 = 0$ , tj.
$\d\boldsymbol{\tau}^0\cdot\boldsymbol{\tau}^0 = 0$ .

Protože je jejich skalární součin roven nule, vidíme, že vektory $\d \boldsymbol{\tau}^0$ a $\boldsymbol{\tau}^0$ jsou na sebe kolmé a vektor $\d \boldsymbol{\tau}^0$ míří do středu křivosti (což např. v případě pohybu po kružnici je střed kružnice).

Během změny vektoru $\boldsymbol{\tau}^0$ o $\d \boldsymbol{\tau}^0$ jsme urazili dráhu
$\d s = \varrho\d\varphi$ , kde $\varrho$ je poloměr křivosti (např. v případě pohybu po kružnici je to poloměr kružnice) a $\d \varphi$ je opsaný úhel.

Z toho plyne
$\d\varphi = \frac{\d s}{\varrho}$ .

Protože $\boldsymbol{\tau}^0$ je jednotkový vektor, je
$|\d \boldsymbol{\tau}^0| = \d\varphi$ , tj.
$|\d\boldsymbol{\tau}^0| = \frac{\d s}{\varrho}$ (2).

Protože vektor $\d\boldsymbol{\tau}^0$ míří do středu křivosti, platí
$\d\boldsymbol{\tau}^0 = |\d\boldsymbol{\tau}^0|\textbf{n}^0$ , kde $\textbf{n}^0$ je jednotkový normálový vektor (vektor mířící do středu křivosti).

Dosadíme za $|\d\boldsymbol{\tau}^0|$ z rovnice (2) a získáváme
$\d\boldsymbol{\tau}^0 = |\d\boldsymbol{\tau}^0|\textbf{n}^0 = \frac{\d s}{\varrho}\textbf{n}^0$ (3)

Vidíme tedy (jak jsme už zjistili předtím), že vektor $\d\boldsymbol{\tau}^0$ míří do středu křivosti. Člen $v^2\frac{\d \boldsymbol{\tau}^0}{\d s}$ z rovnice (1) je tedy dostředivé zrychlení.

$\textbf{a}_n = v^2\frac{\d \boldsymbol{\tau}^0}{\d s}$

Dosadíme z rovnice (3) za $\d\boldsymbol{\tau}^0$ a získáme
$\textbf{a}_n = \frac{v^2}{\varrho}\textbf{n}^0$ , což je výsledek.

Kdyby tě zajímala velikost dostředivého zrychlení, tak protože $\textbf{n}^0$ udává pouze směr, je velikost dostředivého zrychlení
$a_n = \frac{v^2}{\varrho}$ .

Pro speciální případ pohybu po kružnici (místo libovolného křivočarého pohybu) je $\varrho$ poloměr kružnice, čímž bychom dostali známý středoškolský vzorec
$a_n = \frac{v^2}r$ .

Je to jasné?