Matematické Fórum

cheethell · 08. 06. 2019 23:56

Ahoj, vim ze podobne tema tu nedavno bylo, ale nepochopil jsem to z nej.
Mam dva priklady:
$\lim_{x\to+\infty }\frac{\sin x}{x}=|\frac{omez.}{+\infty }| = 0$

$\lim_{x\to+\infty }\frac{\sin x}{1-2^{-x}}=|\frac{neex.}{1 }| = neexistuje$

proc je jednou sin(x) omezena a jindy limita neexistuje?

Dekuji za pripadne vysvetleni.

krakonoš

↑ cheethell:
Ahoj.
Limita sinx pro x jdouci do nekonecna neexistuje,z podobneho duvodu, jako neexistuje napr. limita pro posloupnost minus jedna na ntou.Podposloupnost vybrana pro suda cisla by mela limitu jedna,zatimco pro licha cisla minus jedna.

-1/x je rovno mensi sinx/x je rovno mensi 1/x.Zde jde o aplikaci vety o sevrene limite.Limita 1/x i limita -1/x jsou nulove,takze i limita sinx/x bude nula.

cheethell · 09. 06. 2019 01:10

Kdybych chtel aplikovat vetu o sevreni na druhy priklad.
Tak zde sevreni z leva: $\lim_{x\to+\infty }\frac{-1}{1-2^{-x}} = \frac{-1}{1-0} = -1$

a sevreni z prava: $\lim_{x\to+\infty }\frac{1}{1-2^{-x}} = \frac{1}{1-0} = 1$

jsou ruzne, tim padem limita neexistuje. Pochopil jsem to spravne?

Obecne, kdyz budu pocitat tento typ prikladu, mam vzdy overit vetu o sevrenosti ?

vlado_bb · 09. 06. 2019 05:25

↑ cheethell: Nie, nepochopil. Veta, ktoru mas na mysli, v predpokladoch uvadza, ze od isteho $x_0$ je $f(x) \le g(x) \le h(x)$ a $\lim_{x \to \infty}f(x) = \lim_{x \to \infty}h(x)$ . Nehovori nic o pripade, kedy su tieto limity rozne. Ani nemoze, staci uvazovat o pripade konstantnych funkcii $f(x)=0, g(x)=1, h(x)=2$ .

krakonoš · 09. 06. 2019 09:37

↑ cheethell:
To,že sevření nevede k cíli u výpočtu limity sinx pro x jdouci do nekonečna,je vidět i z toho,že sin x=sinx/x krát x.Šlo by o limitu typu 0 krát nekonečno.

cheethell · 09. 06. 2019 13:25

Vyvodil jsem si z prikladů, že limita sin ci cos neexistuje. Ale pokud ji nasobim 0 tak limita je 0. Nebo pokud k ni pricitam nekonecno tak limita je nekonecno. Nebo kdyz ji delim 0 tak limita je nekonecno. Nebo kdyz ji delim nekonecnem tak limita je 0. Zatím mi to v příkladech fungovalo :) ale jisty si v tom nejsem.

vanok · 09. 06. 2019 15:40

Ahoj ↑ cheethell:,
Tu mas poucne citanie https://en.m.wikipedia.org/wiki/Indeterminate_form

cheethell · 09. 06. 2019 17:02

O nedefinovaných výrazech mám páru. Myslím, že jsem nevěděl o tom, když je v příkladu ve jmenovateli neexistující limita výrazu a v čitateli je např 0 tak limita příkladu bude nekonecno. Když limita neexistovala, tak jsem si říkal, že to bude problém a nebudu moci použít standartní postup např právě když je ve jmenovateli 0.

byk7 · 09. 06. 2019 19:16

↑ cheethell: Tam nejde ani tak o tu neexistenci, jako o (ne)ohraničenost. Limita
$\lim_{x\to+\infty }\frac{\sin(x)}{x}=\left\|\frac{\text{omez.}}{+\infty }\right\| = 0$
existuje, protože sinus je ohraničená funkce a intuitivně řečeno čím dal větší x ho stáhne k nule (korektní zdůvodnění viz výše).

Možná divočejší příklad je s Dirichletovou funkcí $\chi_\mathbb Q$ , která je definovaná jako
$\chi_{\mathbb Q}(x)=\begin{cases} 1, & x\in\mathbb Q, \\ 0, & x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q.\end{cases}$
Tato funkce nemá limitu v žádném bodě (ani jednostrannou), přesto, ze stejného důvodu jako v předchozím přídadě máme
$\lim_{x\to+\infty }\frac{\chi_{\mathbb Q}(x)}{x}=\left\|\frac{\text{omez.}}{+\infty }\right\| = 0.$

No a naopak, funkce $\mathrm{e}^x\sin(x)$ je neohraničená pro $x>0$ , proto limita
$\lim_{x\to+\infty }\frac{\mathrm{e}^x\sin(x)}{x}$
neexistuje.