Matematické Fórum

Roscelinius

Dobrý den,
v příkladu věnovanému hledání Funkcionálu pro Hamiltonovy rovnice jsem narazil na jednu podivnost a prosím o vysvětlení:
Hledáme funkcionál:
$J: D_{J}\ni (x(t),p(t)) \longrightarrow J[x,p]=\int_{a}^{b} L(t,x, \dot{x},\dot{p}) dt \in \mathbb{R}$
Funkce L musí být tvaru:
$L=A(t,x,p) \dot {x} +B(t,x,p) \dot {p} + C(t,x,p)$ .
Vyjádříme obecně Euler- Lagrangeovy rovnice, kde vypočítáme úplné diferenciály podle x a zanedbáme výrazy jež obsahují vyšší než první derivace x a p (podle předpokládaného tvaru L):
$E_{x}(L)=\frac{\partial L}{\partial x}- \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t } \frac{\partial L}{\partial \dot {x}}=....= -( \frac{\partial A}{\partial p}- \frac{\partial B}{\partial x}) \dot {p}+( \frac{\partial C}{\partial x}- \frac{\partial A}{\partial t})=0$
výsledný tvar srovnáme s Hamiltonovou rovnicí:
$0 = -\frac{\partial H}{\partial x}-\dot {p}$
Stejným postupem vyjádříme Lagrangeovy rovnice podle p a porovnáme s druhou Hamiltonovou rovnicí a získáme:
$( \frac{\partial A}{\partial p}- \frac{\partial B}{\partial x}) \dot {x}+( \frac{\partial C}{\partial p}- \frac{\partial B}{\partial t})= -\frac{\partial H}{\partial p } + \dot {x}$

Pro hodnoty funkcí A, B, C tedy získáme tři rovnice:
$\frac{\partial A}{\partial p}- \frac{\partial B}{\partial x}=1, \frac{\partial C}{\partial x}- \frac{\partial A}{\partial t}= -\frac{\partial H}{\partial x}, \frac{\partial C}{\partial p}- \frac{\partial B}{\partial t}) = -\frac{\partial H}{\partial p}$

Do této chvíle jsem si myslel, že tomu rozumím.Ale pak:
Volíme funkce A(t,x,p), B(t,x,p) a C(t,x,p), které nejsou určeny jednoznačně. Nejjednodušší volba je prý tato:
A(t,x,p)=p, B(t,x,p)= 0 a C(t,x,p)=-H(t,x,p),
První funkce je tedy rovna proměnné p a třetí funkci H(t,x,p). Proměnná p však nemůže být závislá na čase, protože jinak by druhá rovnice z oněch tří nebyla splněna:
$\frac{-\partial H(t,x,p)}{\partial x}- \frac{\partial p}{\partial t}= -\frac{\partial H}{\partial x},$

Dosadíme li za koeficienty A,B,C do L získáme funkcionál:
$J[x,p]=\int_{a}^{b}[p \dot{x}(t,x,p)-H(t,x,p) ] dt$
Což odpovídá definici Hamiltoniánu v zobecněných souřadnicích:
$H(t,q_{\sigma },p_{\sigma} ) =-L (t,q_{\sigma}, \dot {q_{\sigma}} (t,q_{\lambda} ,p_{\lambda})) +p_{\nu } \dot {q_{\nu }}(t,q_{\lambda} ,p_{\lambda})$

Mohl by mi někdo vysvětlit proč ona proměnná p nezávisí na čase, když vlastně Hamiltonovy rovnice hledají právě funkce x(t), p(t)?
Jaký je rozdíl (v definici Hamiltoniánu) mezi hybností $p_{\nu }$ a $p_{\lambda }$ . Je mi jasné že hybnost je mv a tedy i časová závislost je vyjádřena právě v rychlosti $\dot {q_{\nu }}(t,q_{\lambda} ,p_{\lambda})$ , čím je ale potom tato hybnost $p_{\nu }$ ?
Děkuji za odpovědi. Příklad je z Musilová: Matematika pro porozumění a praxi II/2. Pokud by někdo chtěl mohu mu celý příklad vyfotit, nechci jej sem ale dávat kvůli autorským právům. Omlouvám se za překlepy.

Matematické Fórum

#1 09. 06. 2019 13:58 — Editoval Roscelinius (09. 06. 2019 22:05)

Hledání funkcionálu pro Hamiltonovy rovnice - časová závislost hybnost

Zápatí