Matematické Fórum

Krakonoš3 · 10. 06. 2019 23:16

Dobrý večer,
mám problém s následujícím příkladem

//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-06/01290_matice.JPG

Nechci znát výsledek, ale spíše jak mám se zadaným příkladem začít.
Děkuji moc za pomoc.

Pomeranc · 10. 06. 2019 23:25

↑ Krakonoš3:

Ahoj,
znáš Gaussovu eliminační metodu?

Krakonoš3 · 10. 06. 2019 23:33

↑ Pomeranc:

Ahoj,
ano, vyšla následnovně:

1 2 1 1
0 1 -2 2
0 0 -2 2

Pomeranc · 10. 06. 2019 23:51

↑ Krakonoš3:

Jak ti vyšla pravá strana po úpravách?

Krakonoš3 · 11. 06. 2019 09:30

↑ Pomeranc:

pravá strana vyšla:

5
1
0

Tu matici s X taky upravuji, nebo nechávám ?

Al1 · 11. 06. 2019 13:30

↑ Krakonoš3:
Zdravím,
při řešení soustavy Gaussovou eliminační metodou upravuješ rozšířenou matici, tedy i sloupec pravých stran.

Úpravy máš dobře. Máš 4 neznámé a jen tři rovnice (hodnost matice i rozšířené matice je 3). Jednu proměnnou zvol jako parametr, např. $x_{4}=t$ a z posledního řádku urči $x_{3}$ (z 0 0 -2 2/0 dostaneš $-2x_{3}+2t=0$ ). Atd.
Pokud chceš mít stejný výsledek jako je v příkladu, zvol $x_{4}=1+t$

Pomeranc · 11. 06. 2019 15:18

↑ Krakonoš3:

Kolega Al1 má pravdu, že se k tomu používá rozšířená matice soustavy.

Vypadá to zhruba takto (našla jsem to na netu):
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-06/58978_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG

Potom, co rozšířenou soustavu pomocí GEM dostaneš do řádkově odstupňovaného tvaru, tak
pak použiješ zpětnou substituci. Nejlepší je začít odspoda a postupovat nahoru.

Krakonoš3 · 11. 06. 2019 19:14

Děkuji Vám za pomoc, vyšlo vše správně.

Mfan · 12. 06. 2019 16:00

↑ Krakonoš3:
Zdravim a neodpustím si pár doplňujících poznámek.
1. Zadání je maticový zápis nehomogenní soustavy 4 lineárních rovnic o 4 neznámých.
Označíme-li matici soustavy (první matice zleva) $\textbf{A}$ , matici proměnných (druhá matice) $\textbf{X}$ a
matici pravých stran $\textbf{B}$ , můžeme soustavu zapsat stručně v tzv. maticovém tvaru: $\textbf{AX=B}$ .
To by mohlo svádět k úvaze o řešení soustavy užitím inverzní matice podle vztahu: $\textbf{K=A}^{-1}$ $\textbf{B}$
(kde $\textbf{K}$ je matice řešení soustavy a $\textbf{A}^{-1}$ je inverzní matice k matici $\textbf{A}$ ).
Jenže matice $\textbf{A}$ není regulární (její diskriminant = 0, neboť čtvrtý řádek je dvojnásobkem druhého), takže
inverzní matice $\textbf{A}^{-1}$ neexistuje. Ze stejného důvodu nelze užít ani Cramerovo pravidlo, takže GEM je
dobrá volba.
2. Vektor řešení soustavy ve tvaru (1-2t, 1, 1+t, 1+t) mně připomíná důsledek věty:
Je-li nehomogenní soustava řešitelná, pak každé její řešení dostaneme tak, že jedno řešení zvolíme pevně a k němu
postupně přičteme každé řešení příslušné homogenní soustavy (tj. soustavy, kde pravé strany nahradíme nulami).
Když v zadané nehomogenní soustavě zvolím $x_4=1$ , vyjde vektor (1, 1, 1, 1), což je to pevné řešení.
Když v příslušné homogenní soustavě (nuly na pravé straně) zvolím $x_4=t$ , vyjde vektor (-2t, 0, t, t).
Sečteno: (1-2t, 1, 1+t, 1+t) je požadované řešení zadané soustavy. Tak mám podezření, zda ve finále GEM nebyla
předpokládána aplikace zmíněné věty.