Matematické Fórum

tony123 · 29. 06. 2019 09:54

Jak to mám vyřešit?
$\frac{\log_{10}(x-4)}{\log_{10}(x+1)}.\log_{10}(x+2)=\log_{10}(x+3)$
Děkuji.
Tony

gadgetka

Ahoj, Tony, to je původní zadání nebo už po nějaké úpravě?

Nemá být zadání spíš takto?
$\frac{(\log x -4)}{(\log x +1)}\cdot (\log x+2)=\log x+3$

tony123 · 11. 07. 2019 10:12

Ano, je to původní rovnice zapsaná přesně se závorkami.
Tony

gadgetka · 11. 07. 2019 10:56

Ahoj, tak ještě mrkni do výsledků, pokud je tam uvedeno
$10^{-\frac{11}{6}}$ nebo $\frac{1}{10^{\frac{11}{6}}}$ nebo $\frac{1}{\sqrt[6]{10^{11}}}$ nebo $\frac{1}{10\sqrt[6]{10^{5}}}$

pak jde jen o tiskařského šotka a zadání má být tak, jak jsem ti ho napsala já ... pokud je ve výsledcích něco jiného, pak příklad přenechávám chytřejším kolegům, protože já osobně si myslím, že se znalostmi středoškoláka je příklad v tvém podání neřešitelný ... :)

laszky · 11. 07. 2019 21:26

↑ tony123:

Ahoj.

1. Nejdriv zduvodni, proc musi byt $x>4$ .
2. Potom zduvodni, proc musi byt dokonce $x>5$ .
3. Vyuzij toho, ze logaritmus je rostouci funkce a ukaz, ze rovnice nema reseni.

tony123 · 12. 07. 2019 19:00

Ahoj,
bod 1. je jasný, bod 2. a 3. nikoliv. To bych potřeboval objasnit.
Děkuji.
T.

Ferdish

gadgetka napsal(a):
...já osobně si myslím, že se znalostmi středoškoláka je příklad v tvém podání neřešitelný ... :)

Naopak, ten príklad je riešiteľný, aj v prípade, že použijem len stredoškolské metódy.

Aj keď nakoniec dôjdem k výsledku, že úloha nemá riešenie pre žiadne $x\in \mathbb{R}$ :)

tony123 napsal(a):
Ahoj,
bod 1. je jasný, bod 2. a 3. nikoliv. To bych potřeboval objasnit.

2. Skús vyhodnotiť znamienka hodnôt jednotlivých logaritmov pre $x\in (4;5\rangle$ .

3. To by mali byť len počty s využitím SŠ vzorcov pre úpravu logaritmov.

gadgetka

Že je výsledkem prázdná množina, jsem zjistila graficky ... ;)
Kaju se... :)

tony123 · 15. 07. 2019 22:57

Ahoj,
pořád nechápu, jak ses dostal k číslu 5, potažmo k tomu intervalu do 4 do 5.
Jde mi o algebraické řešení, graficky to není problém. Tady je sice výsledek prázdná množina, ale jak to řešit, když v závorkách budou lineární členy s jinými konstantami, aby řešením byla neprázdná množina.
Stále nechápu, k čemu mi bude hledání znamének.
Jsem z toho srna, promiňte. Obecný odkaz na "středoškolské metody" mi moc nepomůže.
Stále děkuji za pomoc.

misaH · 15. 07. 2019 23:19 — Editoval misaH (15. 07. 2019 23:23)

↑ tony123:

No tak - keď znamienko výrazu naľavo je mínus a napravo je plus, tak rovnosť ťažko nastane, nie? (To by na oboch stranách museli byť nuly...).

Prečo nerozmýšľaš konštruktívne? Stačilo by, keby si za x dosadil napríklad 4,5 a zamyslel sa nad znamienkami tak, ako ti radí Ferdish... Musíš ale samozrejme ovládať základné fakty o logaritmoch...

Svoje otázky klaď predovšetkým sám sebe a až potom fóru...

scirocco

↑ tony123:

1.) $x>4$ , lebo logaritmus je definovaný pre argument väčší ako 0.

2.) Súčasne ale musí platiť $x>5$ , lebo ak by $x\in(4,5\rangle$ , tak by sme dostali výraz typu $\frac{(-)}{(+)}.(+)=(+)$ , alebo nula na ľavej strane, čo je nemožné, lebo pravá strana je väčšia ako nula.

3.) Rovnicu upravíme na tvar: $\frac{\log_{10}(x-4)}{\log_{10}(x+1)}=\frac{\log_{10}(x+3)}{\log_{10}(x+2)}$

A keďže logaritmus o základe 10 je funkcia rastúca, a v intervale >1 nadobúda len kladné hodnoty, tak máme výraz v tvare: $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ , kde $A<B$ a $C>D$ , teda ľavá stana <1 a pravá >1, teda rovnica nemá riešenie.

Ferdish · 16. 07. 2019 09:23

↑ scirocco:
Alebo možno z tvaru 3.) úpravou cez vzorec $\log_{s}r=\frac{\log_{a}r}{\log_{a}s}$ prejsť do tvaru

$\log_{x+1}(x-4)=\log_{x+2}(x+3)$

a odtiaľ z podmienky rovnosti základov a argumentov k sústave dvoch rovníc

$x+1=x+2\\x-4=x+3$

Z tohto je IMO oveľa zreteľnejšie vidieť, že úloha nemá riešenie...

tony123 · 16. 07. 2019 19:08

↑ misaH:
Děkuji za podnětné rady.
Dodnes jsem chodil s dutou hlavou, neschopen přemýšlet...
Každý se svými myšlenkami dojde, kam je schopen. A když nemůže dál, požádá o pomoc, asi tak...

tony123 · 16. 07. 2019 19:11

↑ Ferdish:
Díky Ferdischi! Tuhle myšlenku jsem hledal. :-)

vlado_bb · 16. 07. 2019 20:08

↑ Ferdish: Mozno mi nieco unika, ale $\log_2 4 =\log_3 9$ , ale $2 \ne 3$ a $4 \ne 9$ ...

tony123 · 16. 07. 2019 20:40

↑ vlado_bb:
Tak u Ferdische mne zaujala ta myšlenka převodu na rovnost dvou logaritmů.
Ale celou dobu mi vrtá hlavou jeho implikace, že se musí rovnat základy i logaritmovaná čísla.
Snažil jsem se (marně) to dokázat obecně, až tys to rozsekl tím, žes to vyvrátil protipříkladem. Graficky je to zřejmé, má-li rovnice řešení, lze ho najít pomocí průniku dvou různých logaritmických funkcí.
Takže ti nic neuniklo.

Ferdish · 16. 07. 2019 21:01

↑ vlado_bb:
Hm, máš pravdu, toto naozaj nebola relevantná úvaha...v tom prípade je zrejme jediný možný analytický postup ten od scirocca.

Matematické Fórum

#1 29. 06. 2019 09:54

Logaritmické rovnice

#2 29. 06. 2019 12:10 — Editoval gadgetka (29. 06. 2019 12:21)

Re: Logaritmické rovnice

#3 11. 07. 2019 10:12

Re: Logaritmické rovnice

#4 11. 07. 2019 10:56

Re: Logaritmické rovnice

#5 11. 07. 2019 21:26

Re: Logaritmické rovnice

#6 12. 07. 2019 19:00

Re: Logaritmické rovnice

#7 12. 07. 2019 19:28 — Editoval Ferdish (13. 07. 2019 13:43)

Re: Logaritmické rovnice

gadgetka napsal(a):

tony123 napsal(a):

#8 12. 07. 2019 20:11 — Editoval gadgetka (12. 07. 2019 20:12)

Re: Logaritmické rovnice

#9 15. 07. 2019 22:57

Re: Logaritmické rovnice

#10 15. 07. 2019 23:19 — Editoval misaH (15. 07. 2019 23:23)

Re: Logaritmické rovnice

#11 15. 07. 2019 23:41 Příspěvek uživatele Ferdish byl skryt uživatelem Ferdish. Důvod: kolegyňa rýchlejšia

#12 16. 07. 2019 08:46 — Editoval scirocco (16. 07. 2019 08:48)

Re: Logaritmické rovnice

#13 16. 07. 2019 09:23

Re: Logaritmické rovnice

#14 16. 07. 2019 19:08

Re: Logaritmické rovnice

#15 16. 07. 2019 19:11

Re: Logaritmické rovnice

#16 16. 07. 2019 20:08

Re: Logaritmické rovnice

#17 16. 07. 2019 20:40

Re: Logaritmické rovnice

#18 16. 07. 2019 21:01

Re: Logaritmické rovnice

Zápatí