Matematické Fórum

david_svec · 08. 07. 2019 15:27

Zdravím,

mám výraz: $\frac{365!}{(365-n)!\cdot 365^{n}}$

mě by zajímalo jakým způsobem vyjádřit neznámou "n". (Jestli je to vůbec možné) :)
Na internetu jsem nic nenašel, tak jsem zkusil substituci nebo jsem položil tento výraz nějakému číslu a poté rovnici zlogaritmoval, ale vždy jsem narazil na spoustu slepých uliček. Tak se Vás ptám, zda je vůbec možné vyjádřit neznámou z faktoriálu aniž bych použil nějaké hardcore vysokoškolské způsoby?

Děkuji za případné rady. :)

vlado_bb · 08. 07. 2019 15:43

↑ david_svec: Pises sice o rovnici, ale ziadnu neuvadzas. V rovnici musi byt symbol $=$ . Takto je tvoja otazka podobna, ako keby niekto chcel vyjadrit $n$ z vyrazu $n+1$ .

david_svec

↑ vlado_bb:
Omlouvám se za nepřesné zadání.

$\frac{365!}{(365-n)!\cdot 365^{n}}=0,493$

Takhle má vypadat.

laszky · 08. 07. 2019 18:25 — Editoval laszky (08. 07. 2019 18:41)

↑ david_svec:

Ahoj, zrejme jde o to nalezt takove prirozene n, aby uvedena rovnost platila priblizne.
Mozna existuje lepsi reseni, ja bych pouzil odhad $1-x<\mathrm{e}^{-x}=\exp(-x)$ , potom

$\frac{365!}{(365-n)!\cdot 365^{n}}=\frac{365\cdot364\cdot363\cdots(365-n+1)}{365^n}=\left(1-\frac{1}{365}\right)\left(1-\frac{2}{365}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{365}\right)<$
$< \exp\left(-\frac{1}{365}\right)\exp\left(-\frac{2}{365}\right)\cdots\exp\left(-\frac{n-1}{365}\right) = \exp\left(-\frac{n^2-n}{2\cdot365}\right)$

Cislo $n$ tedy musi splnovat $\exp\left(-\frac{n^2-n}{2\cdot365}\right) > 0,493$ , neboli

$n^2-n +730\cdot\ln(0,493) <0$ .

To by ti mohlo pomoci nalezt $n$ splnujici tvoji "rovnost".

david_svec · 08. 07. 2019 19:05

↑ laszky:

Ano, samozřejmě hledám přirozené číslo pro které bude platit daná rovnost co nejblíže.

Mohl bych se zeptat jak jste přišel na tuto nerovnici/odhad? $1-x<\mathrm{e}^{-x}=\exp(-x)$

Jinak děkuji za odpověď, na tohle bych nepřišel :).

vlado_bb · 08. 07. 2019 19:19

↑ david_svec: Nerad zasahujem do cudzej asistencie, ale v tomto letnom obdobi sa ludia prihlasuju zriedkavejsie, takze ↑ laszky: snad bude tolerovat, ak odpoviem namiesto neho: Funkcia $f(x)=e^{-x}$ je konvexna a $y=1-x$ je jej dotycnica v nule. To je dovod uvedenej nerovnosti. Presne povedane, $1-x \le \mathrm{e}^{-x}$ , rovnost nastava v nule.

david_svec · 08. 07. 2019 20:18

↑ vlado_bb:

Děkuji za objasnění. Chápu, že přes prázdniny jsou jiné zájmy, a proto Vám oběma děkuji. :)

Honzc · 09. 07. 2019 06:28

↑ david_svec:
I když je úloha vyřešena, nepočítáš náhodou Toto

david_svec · 09. 07. 2019 07:18

↑ Honzc:

Přesně tak. Mě jenom zajímalo pro jaké n lidí bude pravděpodobnost taková a maková. :)

Matematické Fórum

#1 08. 07. 2019 15:27

Vyjádření neznámé z faktoriálu

#2 08. 07. 2019 15:43

Re: Vyjádření neznámé z faktoriálu

#3 08. 07. 2019 16:23 — Editoval david_svec (08. 07. 2019 16:40)

Re: Vyjádření neznámé z faktoriálu

#4 08. 07. 2019 18:25 — Editoval laszky (08. 07. 2019 18:41)

Re: Vyjádření neznámé z faktoriálu

#5 08. 07. 2019 19:05

Re: Vyjádření neznámé z faktoriálu

#6 08. 07. 2019 19:19

Re: Vyjádření neznámé z faktoriálu

#7 08. 07. 2019 20:18

Re: Vyjádření neznámé z faktoriálu

#8 09. 07. 2019 06:28

Re: Vyjádření neznámé z faktoriálu

#9 09. 07. 2019 07:18

Re: Vyjádření neznámé z faktoriálu

Zápatí