Matematické Fórum

Roscelinius · 30. 08. 2019 15:50

Dobrý den,
snažím se nastudovat "Matematickou analýzu na varietách" a zastavil jsem se na formalismu znaménka permutace. Vnější součin je nadefinovaný jako :
$e_{I} \wedge e_{J} = \begin{cases} 0, & pokud: I \cap J \not=0 \\ sgn (\begin{smallmatrix} I,J \\ I\cup J \end{smallmatrix}), & pokud: I \cap J =0 \end{cases}$
kde $I=\{i_{1}, ... , i_{k} \}; i_{1}< ...<i_{k}$
Dále jsou použity úpravy: $e_{I} \wedge e_{J} = sgn (\begin{smallmatrix} I,J \\ I\cup J \end{smallmatrix}) e_{ I\cup J}$ .
Dokázal by mi někdo vysvětlit, co přesně vyjadřuje ono znaménko permutace? Vím, že vnější součin je definován skrze základní vlastnost antikomutativit, a jde tedy nejspíše o různost multiindexů, resp jejich nulový průnik, ale tomuto formalismu moc nerozumím.
Jelikož se především zabývám fyzikou, mám v matematických formalizmech celkem hokej, neměli byste tip na nějakou vhodnou publikaci, spíše slovníkového charakteru, věnovanou různým formalismům a co konkrétně představují.
děkuji

OiBobik

↑ Roscelinius:

Ahoj,

v té definici nahoře ve spodním řádku ti chybí $e_{I \cup J}$ . Tj pokud $I \cap J=\emptyset,$ pak $e_I \wedge e_J\stackrel{def}=sgn{I, J \choose I \cup J}e_{I \cup J}$ .

K samotné otázce:
Ve tvém značení $e_I$ je zkratka pro $e_{i_1}\wedge e_{i_2} \wedge \dots \wedge e_{i_k}$ . Adoptujeme-li podobné znační pro $J$ , tj. $J=\{j_1 < j_2 < \dots j_m\},$ pak $e_{J}=e_{j_1}\wedge e_{j_2} \wedge \dots \wedge e_{j_m}$ .
Podobně $e_{I \cup J}$ je vnější produkt všech výše zmíněných bázových vektorů, avšak opět (dle konvence) v rostoucím pořadí indexů. Tedy $e_{I \cup J}$ lze obdržet ze $e_{I} \wedge e_J=e_{i_1} \wedge \dots \wedge e_{i_k} \wedge e_{j_1} \wedge \dots \wedge e_{j_m}$ vhodným přeházením vektorů. Ale prohození dvojice sousedních vektorů vždy změní znaménko. Takže pokud člověk přehazuje postupně dvojice sousedních vektorů, nakonec dostane $e_{I \cup J}$ až na znaménko, které je $-$ pokud použitý počet prohození byl lichý, a $+$ pokud počet použitých prohození je sudý. To je přesně totéž, jako pronásobení znaménkem permutace ${I, J \choose I \cup J}$ .

Matematické Fórum

#1 30. 08. 2019 15:50

Znaménko permutace v definici vnějšího součinu.

#2 10. 09. 2019 05:03 — Editoval OiBobik (10. 09. 2019 05:13)

Re: Znaménko permutace v definici vnějšího součinu.

Zápatí