Matematické Fórum

stuart clark · 01. 10. 2019 16:41

Minimum of $f(\theta) = \frac{a}{\cos \theta}+\frac{b}{\sin \theta}+\sqrt{\frac{a^2}{\cos^2 \theta}+\frac{b^2}{\sin^2 \theta}}, a,b>0, \theta \in (0,\frac{\pi}{2}).$

jardofpr · 07. 10. 2019 20:29

ahoj ↑ krakonoš:

ak si chcela napísať že stačí minimalizovať súčet prvých dvoch členov, tak to určite nie

ak si myslela niečo iné, vysvetlíš prosím?

krakonoš

↑ stuart clark:
Hi.
There is the right triangle $sin \alpha =\frac{\frac{a}{cos \Theta }}{\sqrt{\frac{a^{2}}{cos^{2}\Theta }+\frac{b^{2}}{sin^{2}\Theta }}}$
$cos \alpha =\frac{\frac{b}{sin\Theta }}{\sqrt{\frac{a^{2}}{cos^{2}\Theta }+\frac{b^{2}}{sin^{2}\Theta }}}$
$f'(\Theta )=0\Leftrightarrow$ $sin \alpha *(a\frac{sin\Theta }{cos^{2}\Theta })-cos\alpha *(b\frac{cos\Theta }{sin^{2}\Theta })=$ $(-1)\cdot (a\frac{sin\Theta }{cos^{2}\Theta })+1\cdot (b\frac{cos\Theta }{sin^{2}\Theta })$
a) $sin\alpha =cos\alpha =-1$ it's not possible.
If $\frac{a sin \Theta }{cos^{2}\Theta }=\frac{b cos\Theta }{sin^{2}\Theta }=K$
then $K(sin\alpha -cos\alpha )=0$ .
$K>0$
$sin\alpha =cos\alpha \Leftrightarrow \frac{a}{b}=cotg \Theta$

$\frac{a sin\Theta }{cos^{2}\Theta }=\frac{b cos\Theta }{sin^{2}\Theta }\Leftrightarrow \frac{a}{b}=cotg^{3}\Theta$
I think the minimum is where a=b for $\Theta =\pi /4$ ,compared f(pí/6),f(pí/4),f(pí/3)

laszky · 01. 12. 2019 15:12

↑ krakonoš:

Hi, but what if $a\neq b$ ? Since $a$ and $b$ are given numbers, you cannot choose them. My approach is as follows:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

krakonoš

$\frac{a}{b}=\frac{sin^{4}\alpha +sin^{3}\alpha }{cos^{4}\alpha +cos^{3}\alpha }$ $=\frac{sin\alpha (cos\alpha -1)}{cos\alpha (sin\alpha -1)}$ $=\frac{tg(\frac{\alpha }{2})tg^{2}\alpha }{tg(\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2})}$ $=\frac{4r^{3}}{(1-r)^{3}(1+r)}$
where $r=tg\frac{\alpha }{2}$
$\Theta =arctg(\frac{b}{a}\cdot tg \alpha )$
It was linking mathematical analysis with geometry, specially for Vanok.
🎄🎁

Matematické Fórum

#1 01. 10. 2019 16:41

Minimum value of function

#2 02. 10. 2019 13:52 Příspěvek uživatele krakonoš byl skryt uživatelem krakonoš.

#3 07. 10. 2019 18:49 — Editoval krakonoš (07. 10. 2019 19:57) Příspěvek uživatele krakonoš byl skryt uživatelem krakonoš.

#4 07. 10. 2019 20:29

Re: Minimum value of function

#5 07. 10. 2019 20:53 — Editoval krakonoš (08. 10. 2019 17:16) Příspěvek uživatele krakonoš byl skryt uživatelem krakonoš.

#6 01. 12. 2019 00:32 — Editoval krakonoš (01. 12. 2019 12:37)

Re: Minimum value of function

#7 01. 12. 2019 15:12

Re: Minimum value of function

#8 01. 12. 2019 19:54 — Editoval krakonoš (03. 12. 2019 10:18) Příspěvek uživatele krakonoš byl skryt uživatelem krakonoš.

#9 04. 12. 2019 01:00 — Editoval krakonoš (04. 12. 2019 12:22)

Re: Minimum value of function

Zápatí