Matematické Fórum

VojtaSkaroupka · 13. 10. 2019 15:32

Krásný den,
potřeboval bych poradit s výpočtem této limity: $lim (x,y) \overrightarrow{}(0,0) \frac{x^{3}y+x^2y^2+y^4}{|x^3| +y^2}$ . Po přímém dosazení vyjde $\frac{0}{0}$ , takže limitu zkusím převést do polárních souřadnic, narazím ale na to, že x ve jmenovateli je na třetí, takže nemůžu jednoduše neznámé r pokrátit, protože kvůli absolutní hodnotě neznám znaménko. Jak mám ted dál postupovat? Děkuji

laszky · 13. 10. 2019 16:28 — Editoval laszky (13. 10. 2019 16:38)

↑ VojtaSkaroupka:

Ahoj. Kdyz to prevedes do polarnich souradnic, tak dostanes

$\lim_{R\to0+} \frac{R^2(c^3s+s^2c^2+s^4)}{R|c|^3+s^2}$ , kde $s=\sin\theta,\; c=\cos\theta$

Zkus dokazat a vyuzit nasledujici odhady

$c^3s+s^2c^2+s^4 \leq 3$
$c^3s+s^2c^2+s^4 \geq 1 - \frac{3\sqrt{3}}{16} > \frac{1}{2}$ (ikdyz asi staci, ze je to > -1)
$R|c|^3+s^2 \leq R+1$
$R|c|^3+s^2 \geq R$ , pro $R\in\left(0,\frac{1}{3}\right)$

krakonoš · 13. 10. 2019 17:56

↑ VojtaSkaroupka:
Ahoj
Pokud je dobre ten prevod do polarek, tak bych citatele i jmenovatele vydelila R nadruhou, ve jmenovateli jsou dva zlomky, kde jeden z nich by mel dat nekonecno, protoze nemuze byt soucasne cosinus i sinus byt rovno nule ,citatel dat nekonecno nemuze.

Matematické Fórum

#1 13. 10. 2019 15:32

Limita funkce dvou proměnných s absolutní hodnotou

#2 13. 10. 2019 16:28 — Editoval laszky (13. 10. 2019 16:38)

Re: Limita funkce dvou proměnných s absolutní hodnotou

#3 13. 10. 2019 17:56

Re: Limita funkce dvou proměnných s absolutní hodnotou

Zápatí