Matematické Fórum

byk7 · 26. 10. 2019 17:16

Zdravím, mám trochu problém s důkazem Peanovy věty.

Nechť $x_0\in\mathbb{R}^n,t_0\in\mathbb{R},a>0$ a $b>0$ . Položme $D=\{(t,x)\in \mathbb{R}^{n+1}\ ;\ t_0\leq t\leq t_0+a,\,|x-x_0|\leq b\}$ a uvažme spojitou funkci $f:D\to \mathbb R^n$ . Potom má počáteční úloha $x'=f(t,x),x(t_0)=x_0$ alespoň jedno řešení na intervalu $[t_0,t_0+\alpha]$ , kde $\alpha=\min\{a,b/M\},M=\max\nolimits_{(t,x)\in D}|f(t,x)|$ .

Důkaz začíná ta, že si zadefinujeme dvě množiny funkcí
$\mathcal F=\{x(t):[t_0,t_0+\alpha]\to\mathbb R^n\ ;\ x(t)\text{ spojitá}\}$ ,
kde uvažujeme normu $|x|=\max\nolimits_{t\in[t_0,t_0+\alpha]}|x(t)|$ , a
$\mathcal M=\{x\in\mathcal F\ ;\ |x(t)-x_0|\leq b\text{ pro }t\in[t_0,t_0+\alpha]\}$ .

Už tady mám poněkud zmatek... Ta věc |-| v definici M, to znamená co? Euklidovskou normu branou přes všechny hodnoty t? Pokud ano, proč je tam před tím zmiňovaná norma na F?

No, pokračuje se tak, že se ukáže neprázdnost (to je mi snad jasné, $x(t)\equiv x_0\in\mathcal M$ ) a uzavřenost, o které se tvrdí, že je zřejmá. No, mně to jasné teda není...

Bati · 26. 10. 2019 19:54 — Editoval Bati (26. 10. 2019 20:00)

Ahoj ↑ byk7:,
tu normu bych radsi znacil $\|x\|$ , jinak se to zacne trochu mlit... Ta vec v definici M tedy znamena, ze $\|x-x_0\|\leq b$ , tj. funkce $x$ neni moc daleko od pocatecni podminky v maximove norme (ktera na spojitych funkcich na om. uz. intervalu splyva se supremovou a je standardni). Jestlize mam nejakou posloupnost $x_n$ z M, ktera konverguje k $x$ (v norme $\|\cdot\|$ ), pak je jasne, ze $x$ je spojita na prislusnem intervalu, nebot se jedna o stejnomernou konvergenci spojitych funkci. Dale, protoze $x_n$ konverguji stejnomerne, plati
$\|x-x_0\|\leq\|x-x_n\|+\|x_n-x_0\|\leq \|x-x_n\|+b\to b$ ,
takže $x$ patri do M. To je uzavrenost.

To ze tvrdi, ze to je zrejme je nejspis proto, ze norma je vzdycky spojity funkcional (vzhledem k sobe same) a posunuti o $x_0$ to nezkazi.

byk7 · 26. 10. 2019 20:25

Díky za reakci.

> Ta vec v definici M tedy znamena, ze $\|x-x_0\|\leq b$

Což, pokud se nepletu, znamená, že systém funkcí M je stejnoměrně ohraničený, což je předpoklad pro použití AA věty (přesně si ty dva pány nepamatuju...), tak?

> ktera na spojitych funkcich na om. uz. intervalu splyva se supremovou

To je mi jasné.

> a je standardni

Tady jsem trochu znejistěl, co přesně tím chceš říct. Jako,že se standardně používá?

> Jestlize mam nejakou posloupnost $x_n$ z M, ktera konverguje k $x$ (v norme $\|\cdot\|$ ), pak je jasne, ze $x$ je spojita na prislusnem intervalu, nebot se jedna o stejnomernou konvergenci spojitych funkci

Tomu už asi taky rozumím, jinak řečeno, při označení $J=[t_0,t_0+\alpha]$ a při předpokladu spojitosti funkcí $x_n$
$\|x_n-x\|\to0\Leftrightarrow\max_J|x_n(t)-x(t)|\to0\Leftrightarrow\sup_J|x_n(t)-x(t)|\to0\Leftrightarrow x_n\rightrightarrows x$
tj. $x$ je taky spojitá

> $\|x-x_0\|\leq\|x-x_n\|+\|x_n-x_0\|\leq \|x-x_n\|+b\to b$

Toto mi tam taky chybělo...

Bati · 26. 10. 2019 20:41

ano, to jsem tim myslel..supremova metrika na spojitych funkcich...ale to je jednio, co je standardni pro me, nemusi nic znamenat

ok..ale jak pisu na konci: jakmile si clovek uvedomi, ze obecne plati $\|x\|\to\|y\|$ kdyz $\|x-y\|\to0$ , tak je to evidentni, protoze limita zachovava nerovnost

vanok · 11. 11. 2019 04:26

Poznamka.
Toto sa oplati precitat:
https://en.m.wikibooks.org/wiki/Ordinar … 7s_theorem

Matematické Fórum

#1 26. 10. 2019 17:16

Peanova věta

#2 26. 10. 2019 19:54 — Editoval Bati (26. 10. 2019 20:00)

Re: Peanova věta

#3 26. 10. 2019 20:25

Re: Peanova věta

#4 26. 10. 2019 20:41

Re: Peanova věta

#5 11. 11. 2019 04:26

Re: Peanova věta

Zápatí