Matematické Fórum

Pozitron · 17. 11. 2019 12:53

Dobrý den,
Řešil jsem nerovnici $\frac{1}{(x+1)^{^{2}}}+\frac{1}{(y+1)^{2}}\ge \frac{1}{1+xy}$
nepadlo mně použít symetrickou substituci, takže jsem položil s=x+y p=xy
a došel jsem k nerovnici: $-3p^{2}+s^{2}p -3p\ge 0$ ale ta se mi nedaří dokázat.
tak prosím o radu jak vyřešit původní nerovnost, ideálně metodou symetrické substituce, ale klidně jinou metodou.

laszky · 17. 11. 2019 13:27

↑ Pozitron:

Ahoj. Nekde jsi musel udelat chybu. Protoze napr. pro $s = 1 + 1 = 2$ a $p = 1\cdot1 = 1$ plati

$-3p^{2}+s^{2}p -3p = -3 + 4 -3 = -2 < 0$ .

Spravne jsi mel dospet k nerovnosti

$s^2p + 1 -2p - 3p^2 \geq 0$ ,

kterou dokazes vyuzitim $s^2\geq4p$ , coz plati ptz

$s^2 = (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 = x^2-2xy+y^2 + 4xy = (x-y)^2+4xy \geq 4p$

Matematické Fórum

#1 17. 11. 2019 12:53

Nerovnosti Symetrická substituce

#2 17. 11. 2019 13:27

Re: Nerovnosti Symetrická substituce

Zápatí