Matematické Fórum

Pomeranc · 18. 11. 2019 00:01

Ahoj,
mám tu dva integrály u kterých mám určit, při kterým parametru konvergují.
Nevím si s tím moc rady.

1) $\int_{0}^{1}[ log(x)]^{n}$

U jedničky použiju známou limitu, ale co u 0?

2) $\int_{0}^{1}\frac{log(1-a^{2}x^{2})}{x^{2}\sqrt{1-x^{2}}}$

Tak tady jsem to vzala intuitivně. Řekla jsem si, nechť a je třeba 5. Pak pro x=1/2 není logaritmus definován,
a tak jsem došla k závěru, že a musí ležet mezi -1 a 1. Existuje ale nějaký formálnější způsob?

vanok · 18. 11. 2019 04:10

Ahoj ↑ Pomeranc:,
Ten prvy integral najprv primimitizuj per partes ( PP) n krat a na koniec budes mat jedine delikatne x ln(x) a to ma v 0 limitu.

V druhom skus polozit x= cos( theta)

krakonoš

↑ Pomeranc:
Ahoj
U prvního příkladu by šla taky použít substituce a zkoumat tak konvergenci integrálu
$\int_{-\infty }^{0}y^{n}e^{y}dy$ , dále využít limitního srovnávacího kriteria
$\lim_{y\to -\infty }\frac{y^{n}e^{y}}{y^{-2}}=0$
Co se týče druhého příkladu, lze použít opět limitní kritérium typu
$\lim_{x\to0+}\frac{A}{B}$ , kde
$A=\frac{log(1-a^{2}x^{2})}{x^{2}\sqrt{1-x^{2}}}$
$B=\frac{-a^{2}x^{2}}{x^{2}\sqrt{1-x^{2}}}$ , kde a<>0.
Pro limitu, kde x konverguje k 1 použít pro
$B=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

vanok · 18. 11. 2019 10:23

Kontrola pre druhu limitu

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pomeranc

↑ vanok:

Ahoj,

1) Takže u nuly to jde upočítat? U jedničky mi vyšlo, že n musí být větší než -1 (což i je řešení).
Asi někde dělám chybu. Když jsem si řekla, že na celý integrál budu dělat per partes,
tak
$\int_{0}^{1}[\log({x})]^{n} dx = [x*[\log({x})]^{n}]^{1}_{0} -\int_{0}^{1}n*[\log({x})]^{n-1}$

s tím, že
$[x*[\log({x})]^{n}]^{1}_{0} = \lim_{x\to1^{+}}[x*[\log({x})]^{n}] - \lim_{x\to0^{-}}[x*[\log({x})]^{n}]$

Když n je menší než 0, není tam problém s tou limitou zprava u jedničky?

Pomeranc · 18. 11. 2019 22:33

↑ vanok:

No, mi máme právě vyučujícím "zakázáno" integrál vypočítávat, když počítáme příklady na přehození integrálu a derivace.

Odkaz str. 183 př. 6.38

Pomeranc · 18. 11. 2019 23:01

↑ krakonoš:

Ahoj,

tu 2) jsem se snažila počítat podobným způsobem, ale nevyšla mi tam žádná restrikce na a, tak nevím :(
Nechť a není rovno 0 (a rovno 0 vyřešíme samostatně).

"u 0"
LSK s $\int_{0 }^{0+\delta} \frac{-a^{2}x^{2}}{x^{2}} dx$ , tedy $a\in \mathbb{R}$

"u 1"
LSK s $\int_{1-\delta }^{1} \frac{-a^{2}x^{2}}{\sqrt{1-x}} dx$ a vyjde to stejně.

vanok · 18. 11. 2019 23:09

Ahoj ↑ Pomeranc:,
No ten druhy integral mozes vyjadrit vdaka Taylorov rozvoju.
A to mozes derivovat ako funkciu parametra a....
A to musi dat ten isty vysledok ako ten co som nasiel.

V tom prvom som pokracoval z PP pokial to bolo mozne. ... Na konci toho tam sa objavi to xln x. ...
( aby si to mohla vidiet, je mozno dobre si to urobit pre n=3...)

Matematické Fórum

#1 18. 11. 2019 00:01

Konvergence integrálů

#2 18. 11. 2019 04:10

Re: Konvergence integrálů

#3 18. 11. 2019 10:00 — Editoval krakonoš (18. 11. 2019 10:34)

Re: Konvergence integrálů

#4 18. 11. 2019 10:23

Re: Konvergence integrálů

#5 18. 11. 2019 22:24 — Editoval Pomeranc (18. 11. 2019 22:39)

Re: Konvergence integrálů

#6 18. 11. 2019 22:33

Re: Konvergence integrálů

#7 18. 11. 2019 23:01

Re: Konvergence integrálů

#8 18. 11. 2019 23:09

Re: Konvergence integrálů

Zápatí