Matematické Fórum

tamrin · 24. 11. 2019 23:46 — Editoval tamrin (25. 11. 2019 19:25)

Dobrý den, potřeboval bych prosím poradit.

Počítal jsem lokální extrémy této funkce:

Našel jsem 5 stacionárních bodů a určil typ extrému.
$S_1\left[0;0\right] \ S_2\left[1;\frac{1}{2}\right] \ S_3\left[-1;-\frac{1}{2}\right] \ S_4\left[1;-\frac{1}{2}\right] S_5\left[-1;\frac{1}{2}\right]$

Výsledek mám správný (po velmi dlouhém výpočtu), ale chtěl bych se zeptat, jestli by se dal příklad také řešit pomocí následující substituce:
$s=xy$
$t=x^2+4y^2$
Získal bych tak (po roznásobení) funkci
$g(s,t)=t^2-4t-2st+8s$
Hledání lokálního extrému této funkce mě dostává k bodu $T[s,t]=T[2,4]$
Nicméně soustava:
$xy=2$
$x^2+4y^2=4$
řešení v reálných číslech nemá.

V následujícím pokračování už nevím, jestli postupuji dobře a nevím jak postupovat dále:
platí:
$\left(\begin{matrix}f_x^\prime\\f_y^\prime\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}s_x^\prime&t_x^\prime\\s_y^\prime&f_y^\prime\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}g_s^\prime\\g_t^\prime\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right)$
tedy:
$\left(\begin{matrix}f_x^\prime\\f_y^\prime\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}y&2x\\x&8y\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}xy\\x^2+4y^2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\\\end{matrix}\right)$

Zřejmě bude součin matice a vektoru roven nulovému vektoru, když je vektor v součinu roven nulovému, odtud tedy "asi" získávám bod $S_1[0;0]$ . Zbylé 4 stacionární body tedy musím získat v jiném případě. Uplně mi nedochází, kdy daný součin ještě bude roven nule. Samozřejmě, že když budu mít nulovou matici, to mě ale nepomáhá.

Nevím jistě, jestli postupuji správně, ale spočítal jsem si, kdy je matice v součinu singulární, tedy kdy má nulový determinant a vyšlo mi, že právě když $x=\pm 2y$ , ale nevím kam bych takový vztah dále dosazoval, nebo jestli mi vůbec k něčemu je (spíše jsem si jenom všimnul, že tento předpis platí pro všech 5 bodů).

tamrin · 25. 11. 2019 23:51

Tak už dobrý už jsem na to přišel :D

Matematické Fórum

#1 24. 11. 2019 23:46 — Editoval tamrin (25. 11. 2019 19:25)

Hledání extrému funkce pomocí substituce

#2 25. 11. 2019 23:51

Re: Hledání extrému funkce pomocí substituce

Zápatí