Matematické Fórum

Matytus · 22. 01. 2020 20:57

Dobrý den.
mohu poprosit o radu, jak na tento příklad?Řeším $\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\text{cotg}x\text{dx}$ po úpravě a substituci $\int_{-1}^{1}\frac{1}{t}dt$ ,výjde $[\ln x]_{_{-1}}^{1}$ , ovšem v -1 není funkce definována. Ani limitně to nelze. Předem děkuji za každou radu.

Ferdish

1. Z tvojho zápisu nie je zrejmé akú substitúciu si zaviedol, ani výpočet diferenciálov po jej zavedení.

2. Funkcia $\text{cotg }x$ je na intervale $\langle-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\rangle$ nespojitá v nule. Limita k nule zľava ide do $-\infty$ a k nule sprava zasa do $+\infty$ . V obore reálnych čísiel integrál z tejto funkcie na zvolenom intervale neexistuje.

krakonoš

↑ Ferdish:
Ahoj
Možná připadá v úvahu i Lebesg integrál.Ten ale neexistuje rovněž, už jen z důvodu, že obsah plochy na intervalu 0;pí/2 je nekonečno

Matytus

↑ Ferdish:↑ krakonoš:
Dobrý večer,
volil jsem $\text{cotg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$ a $t=\sin x$ . Problémem je tefy nula.Omlouvám se, to mi nedošlo.Tudíž, jak dále postupovat?Ne-li definováno v nule?Napsat rovnou, že daný integrál neexistuje?

krakonoš

↑ Matytus:
Primitivní funkci ke cotg určíme rovnou z hlavy(cotgx=cosx/sinx), už ze zápisu je vidět, že to vede na logaritmus.
Já ale myslela, že co se týče existence např Riemannova integrálu,že lze rozšířit pojem R integrálu i na neomezené funkce (nespojitost v konečně mnoha bodech), že zde bude hrát obsah plochy od -pí/2 do nuly, a pak obsah plochy na intervalu 0 ;pí/2.Tady to ale dá -nekonečno+nekonečno.Takže si myslím, že stejně taky neexistuje, ale důvodem je podle mě, že při integraci podél osy x vznikne ten neurčitý výraz, to že limita v nule zleva šla do mínus nekonečna a zprava do plus nekonečna si myslím,že nevadí.Kdyby ta záporná plocha byla konečná a ta kladná taky a byla jí rovna,tak by byl roven nule.Aspoň si to mysím, i když zlobí ta nula.

surovec

↑ Matytus:
Nemáš tam mít spíš $\left[ \ln \left| t \right| \right]_{-1}^1$ místo $\left[ \ln x \right]_{-1}^1$ ?
Podle mě je zde potřeba použít hlavní hodnotu integrálu, tedy limitu ze součtu dvou dílčích integrálů, a ta pak má hodnotu 0...
Konec konců, i když obě plochy nekonvergují, jsou "stejné", ale s opačným znaménkem.

MichalAld · 22. 01. 2020 22:38

Podle mě může ten integrál existovat jedině ve smyslu limity typu

$\lim_{\delta \to 0} \int_{-\frac{\pi }{2}}^{-\delta}\text{cotg}x\text{dx} + \int_{\delta}^{\frac{\pi}{2}}\text{cotg}x\text{dx}$

Nebo v nějakém podobném smyslu využívající toho, že ty plochy nad a pod osou x jsou stejné.

Jinak bych řekl, že v žádném z běžných smyslů tento integrál nemůže existovat.

Ferdish

Dávam do pozornosti nedávno diskutovanú analogickú situáciu: https://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=106245

krakonoš · 22. 01. 2020 23:59

↑ Ferdish:
Jde vlastně o problém typu, jako kdybychom měli určit pro x jdoucí zprava k nule
lim1/x - lim 1/x.Vidíme,žejsou stejné,ale nekonečno -nekonečno neodečteme.Větu o limitě rozdílu aplikovat nelze.
Zde jedine vystupuje funkce ln|sinx|.

Matematické Fórum

#1 22. 01. 2020 20:57

Nevlastní integrál

#2 22. 01. 2020 21:05 — Editoval Ferdish (22. 01. 2020 21:05)

Re: Nevlastní integrál

#3 22. 01. 2020 21:25 — Editoval krakonoš (22. 01. 2020 21:27)

Re: Nevlastní integrál

#4 22. 01. 2020 21:34 — Editoval Matytus (22. 01. 2020 21:35)

Re: Nevlastní integrál

#5 22. 01. 2020 21:57 — Editoval krakonoš (22. 01. 2020 22:21)

Re: Nevlastní integrál

#6 22. 01. 2020 22:10 — Editoval surovec (22. 01. 2020 22:22)

Re: Nevlastní integrál

#7 22. 01. 2020 22:38

Re: Nevlastní integrál

#8 22. 01. 2020 22:47 — Editoval Ferdish (22. 01. 2020 22:48)

Re: Nevlastní integrál

#9 22. 01. 2020 23:59

Re: Nevlastní integrál

Zápatí