Matematické Fórum

Pozitron

Dobrý den, lámu si hlavu na jestli platí $NSD(a,b)=NSD(a,b-a)$ pro libovolné celé čísla a,b
a nepodařilo se mi na to přít, tak se obracím na vás, platí tento vztah.

a pokud ano můžu s tím řešit takový příklad?
$NSD(8x+5,2x-2)$ kde x je celé číslo
použiji vzorec z minula a od 8x+5 odečtu čtyřikrát 2x-2 a získám $NSD(8x+5,2x-2)=NSD(13,2x-2)$ můžu prohlásit že $NSD(8x+5,2x-2)\le 13$ ?

LukasM · 27. 01. 2020 01:02

↑ Pozitron:
Pokud je mi známo, vztah platí ve všech případech, kdy dává smysl (tedy když $b>a$ ).
Použít ho můžeš a dostaneš rovnost $NSD(8x+5,2x-2)=NSD(13, 2x-2)$ .

To, že výsledek je $\le 13$ je asi pravda, ale vzhledem k tomu, že 13 je prvočíslo asi půjde říct i víc.

vanok · 27. 01. 2020 01:37

Ahoj ↑ Pozitron:,
Toto $NSD(a,b)=NSD(a,b-a)$ , ti okazite da $NSD(a,b)=NSD(a,b-k.a)$ ( staci k krat pouzit tu prvu identitu.
A tak $NSD(8x+5,2x-2)=NSD(13,2x-2)$ ( ako si to napisal.)
Preto mozes povedat, ze NSD je delitelom cisla 13, cize je to 1 alebo 13.

Dokaz $NSD(a,b)=NSD(a,b-a)$ je jednoduchy.
Staci osnacit $D=NSD(a,b)$ co da $a=A.D; b=B.D$ kde $NSD(A,B)=1$ a ....
to uz sam dokoncis.