Matematické Fórum

Matytus · 03. 02. 2020 19:14

Dobrý den,
prosím o radu při řešení tohoto integrálu. Úkol je vypočítat obsah plochy omezené asteroidou o parametrických rovnicích $x=a\cos ^{3}t$ , $y=a\sin ^{3}t$ , kde $a>0$ . Dostal jsem na integrál $S'=3a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^{4}t\cos ^{2}tdt$ . Zkoušel jsem zadával do různých programů a vždy mi vyhodilo docela hrozné výsledky (respektive to neumějí výpočítat přes nějaký rozumný postup). Nakonec jsem našel na internetu přes goniometrický vzorce typu $\cos 6t =\ldots$ . Mohu se Vás zeptat, zda existuje nějaký snažší postup při řešení integrálu tohoto typu?

laszky · 03. 02. 2020 19:42

↑ Matytus:

Ahoj, mozna zkus substituci $z=\mathrm{tg}\,t$ , pak

$\cos^2t=\frac{1}{1+z^2},\quad \sin^2t=\frac{z^2}{1+z^2}\quad\mbox{a}\quad\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}z}{1+z^2}$

vanok · 03. 02. 2020 20:44 — Editoval vanok (04. 02. 2020 11:04)

Servus ↑ laszky:,
Poznamka1. Tu https://ocw.mit.edu/courses/mathematics … x69sol.pdf je jedno riesenie.
Poznamka 2.
Ako je mozne, ze skoro nikto na fore nepouziva
https://en.wikipedia.org/wiki/Bioche%27s_rules .
Bioche-ve pravidla su ozaj uzitocne.

Pomeranc · 03. 02. 2020 21:21

↑ vanok:

Já bych řekla, že to co používá laszky tomu hodně odpovídá.

vanok · 04. 02. 2020 17:06

Ahoj ↑ Pomeranc:,
Ty tie « règles de Bioche » poznas?
Gratulujem.

krakonoš · 05. 02. 2020 12:08

↑ Matytus:
Ještě mě napadla možnost, ale bohužel to nebude kratší
Použít per partes na $\int_{}^{}(sin^{4}x \cdot cos x)\cdot cosx dx$ , primitivní funkci k () určíme snadno, stačí si uvědomit derivaci $sin^{5}x$ . Dostaneme se tak k výpočtu integrálu $\int_{}^{}sin^{6}x dx$ ., $sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ .Dále použijeme binomickou větu a dostáváme se tak k $\int_{}^{}\frac{-1}{64}\sum_{k=0}(^{6}_{k})\cdot (-1)^{k}\cdot e^{-ix(2k-6)}dx$ = $\int_{}\frac{-1}{64}\cdot (e^{6ix}-6e^{4ix}+15e^{2ix}-20+15e^{-2ix}-6e^{-4ix}+e^{-6ix})dx$ $=\frac{-1}{64}(\frac{1}{6i}e^{6ix}-\frac{6}{4i}e^{4ix}+\frac{15}{2i}e^{2ix}-20x-\frac{15}{2i}e^{-2ix}+\frac{6}{4i}e^{-4ix}-\frac{1}{6i}e^{-6ix})$
Reálná část tak bude rovna $\frac{-1}{64}(\frac{1}{3}sin6x-3sin4x+15sin2x-20x)$

krakonoš

↑ vanok:
Ahoj.
Já se přiznám, že ta pravidla vůbec nepoužívám. Co se týče substitucí sinx, cos x, to je vidět rovnou, tam se řídím tím, aby se derivace substituce zkrátila s čitatelem integrandu, substituce tg x/2 je univerzální, zabírá teoreticky vždy, ale prakticky je často nepoužitelná, vede k určení kořenů polynomů vysokch stupňů, takže to stejně někdy vede k jiným postupům. No vždyť zkus si zintegrovat funkci 1/(sinusnatřetí x + cosnatřetí x) s pomocí tg x/2.Vymyslet co s tím mi nedávno dalo pořádně zabrat.

vanok · 05. 02. 2020 20:50

Ahoj ↑ krakonoš:,

Bioche, to je practicke vediet.

A potom, je tiez metoda linearizacie, ktora vyuziva Euler-ove vzorce. ( v principe si ju pouzila v tvojom prispevku v specialnom pripade).

No na druhej strane programy formalnej integracie, taketo veci hravo riesia. A byt otrokom repetivnych vypoctov nie je to najsympatickejsie.

krakonoš

↑ vanok:
Ale to by se pak dalo říct o všem.Programy v pohodě řeší i limity, stejnoměrnou konvergenci i kořeny rovnic....To by pak celá analýza i algebra byly na nic,kdyby se to tak bralo.

vanok · 05. 02. 2020 22:00

↑ krakonoš:,
Mas s casti pravdu...
No ale co sa tyka dokazov, umela inteligencia musi este dost pokrocit.
( i ked uz niektorych pripadoch pomohla v tazkych dokazoch).

Co sa tyka tvojho cvicenia #7, mozes si uzitocne precitat https://math.stackexchange.com/question … s-integral .

Pekny vecer.

krakonoš · 05. 02. 2020 22:37

↑ vanok:
Díky.
Já se s tím příkladem už nějak vypořádala už minulý týden, ale dost zdlouhavě, udělat součin funkcí ve jmenovateli, pak sinx+cos x vyjádřit s pomocí sin(x+pí /4), pak zvolit subs y= x+pí/4, dále substituci tg, a ještě substituci za druhou odmocninu.

vanok · 05. 02. 2020 22:54

↑ krakonoš:,
Vsak ano, to aspon mas radost z riesenia, to je prijemne takto klasicky riesit z casu na cas nejake taketo cvicenia.
A vsimla si si, aj ked tu niekto vyriesi formalne podobne cvicenie, casto zabudne overit napr. overit, na akej(ych) mnozine(ach) je platne.

krakonoš · 05. 02. 2020 23:06

↑ vanok:
To se mi taky někdy stává, zásadně i zapomínám psát dx. Poslední dva týdny mě zaujaly integrály na internetu, případně přednášky řešených příkladů, o trochu náročnějších než se bralo ve škole. Sledovala jsem přednášku, jak spočíst $\int_{}^{}cos x \cdot e^{x}dx$ , kde bylo rozebíráno, že přes per partes je postup zdlouhavý, protože to musíš dělat 2krát, jak je lepší použít Eulerovy vzorce. Řekla jsem si, že vlastně jde spočíst $\int_{}^{}(cos x + sinx) \cdot e^{x}dx$ a aplikovat per partes jen jednou a dostaneš hned výsledek a zaslala tam své řešení. Druhý den mě polila hrůza, co na to řekne přednášející, že to vlastně v tu chvíli ta přednáška ztratí jakýkoli smysl. Ale naštěstí to mělo pozitivní reakci.

Pomeranc · 05. 02. 2020 23:23

↑ krakonoš:

To už se rovnou ten integrál může počítat v C a tam se dokonce nemusí dělat per partes vůbec.

krakonoš · 06. 02. 2020 00:32

↑ Pomeranc:
Tam to bylo dělámo přes C, ale bylo to mnohem delší než udělat per partes (cosx+sinx)*exp x

Matematické Fórum

#1 03. 02. 2020 19:14

Obsah asteroidy - integrál

#2 03. 02. 2020 19:42

Re: Obsah asteroidy - integrál

#3 03. 02. 2020 20:44 — Editoval vanok (04. 02. 2020 11:04)

Re: Obsah asteroidy - integrál

#4 03. 02. 2020 21:21

Re: Obsah asteroidy - integrál

#5 04. 02. 2020 17:06

Re: Obsah asteroidy - integrál

#6 05. 02. 2020 12:08

Re: Obsah asteroidy - integrál

#7 05. 02. 2020 18:38 — Editoval krakonoš (05. 02. 2020 19:08)

Re: Obsah asteroidy - integrál

#8 05. 02. 2020 20:50

Re: Obsah asteroidy - integrál

#9 05. 02. 2020 21:31 — Editoval krakonoš (05. 02. 2020 21:32)

Re: Obsah asteroidy - integrál

#10 05. 02. 2020 22:00

Re: Obsah asteroidy - integrál

#11 05. 02. 2020 22:37

Re: Obsah asteroidy - integrál

#12 05. 02. 2020 22:54

Re: Obsah asteroidy - integrál

#13 05. 02. 2020 23:06

Re: Obsah asteroidy - integrál

#14 05. 02. 2020 23:23

Re: Obsah asteroidy - integrál

#15 06. 02. 2020 00:32

Re: Obsah asteroidy - integrál

Zápatí