Matematické Fórum

Pozitron · 04. 02. 2020 00:44

Dobrý den,
na internetu jsem našel příklad urči předpis pro $a_{n}$
//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-02/45203_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png
Když jsem to počítal tak mi furt nevycházely ty jejich členy $\alpha, \beta, \gamma$
Postup:
zvolíme $f(x)=\sum_{0}^{\infty }a^{n}x^{n}$
a po pár rutinních početních operacích dostaneme z $a_{n}=4a_{n-1}-4a_{n-2}+1$ (jen jsme pozměnily značení)
toto $f(x)=\frac{x}{(1-x)(2x-1)(2x-1)}$ a pokud to rozdělíme na parciální zlomky dostaneme $f(x)=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{(2x-1)^{2}}+\frac{2}{2x-1}$ z toho vidíme že mám jiné $\alpha, \beta, \gamma$ než v řešení.
v tomhle nemůžu najít chybu, tak prosím o pomoc, kde mám chybu? (pokud mám špatně zpočtenou f(x) tak mi prosím napište a já pošlu celý postup)
Předem děkuji za odpověd.

laszky · 04. 02. 2020 01:35

↑ Pozitron:

Ahoj, maji tam chybu, Reseni te soustavy je $\alpha=-1,\ \beta=1,\ \gamma=1$ .
Proto je vysledek $a_n = \alpha\cdot2^n + \beta\cdot n2^n + \gamma\cdot 1 = 1+ (n-1)2^n$ .

Pozitron · 04. 02. 2020 03:12

↑ laszky: Posílám celé moje řešení a prosím abyste mi řekl kde mám chybu.
zvolíme
$a_{n}=4a_{n-1}-4a_{n-2}+1$ vynásobíme x na n
$a_{n}x^{n}=4a_{n-1}x^{n}-4a_{n-2}x^{n}+1x^{n}$ provedem součet od 2 do nekonečna
$\sum_{2}^{\infty }a_{n}x^{n}=\sum_{2}^{\infty }4a_{n-1}x^{n}-\sum_{2}^{\infty }4a_{n-2}x^{n}+\sum_{2}^{\infty }x^{n}$
$f(x)-a_{0}-xa_{1}=4x(f(x)-a_{0})-4x^{2}f(x)+\frac{1}{1-x}-1-x$
$f(x)=\frac{x}{(1-x)(4x^{2}-4x+1)}$ po rozložení na parciální zlomky
$f(x)=\frac{-2}{1-2x}+\frac{1}{(1-2x)^{2}}+\frac{1}{1-x}$ a z toho vyplývá že
$a_{n}=-2[x^{n}]\frac{1}{1-2x}+[x^{n}]\frac{1}{1-x}+[x^{n}]\frac{1}{(1-2x)^{2}}$
$a_{n}=-2(2^{n})+1+n2^{n}=2^{n}(n-2)+1$
V postupu mám asi někde chybu, neboť mi to vychází jinak než vám.

laszky · 04. 02. 2020 04:08

↑ Pozitron:

Ahoj, spravne ma byt

$a_{n}=-2(2^{n})+1+(n{\color{red}+1})2^{n}=2^{n}(n-1)+1$

Posloupnost $n2^n$ totiz tvori koeficienty u rozvoje zlomku $\frac{2x}{(1-2x)^2}$ .

Matematické Fórum

#1 04. 02. 2020 00:44

generující funkce

#2 04. 02. 2020 01:35

Re: generující funkce

#3 04. 02. 2020 03:12

Re: generující funkce

#4 04. 02. 2020 04:08

Re: generující funkce

Zápatí