Matematické Fórum

2M70 · 21. 02. 2020 21:10

Zdravím, už si opravdu nevím rady s příkladem na převod funkce $sin^{4}x$ do trigonometrické Fourierovy řady. Když použiju součtového vzorce
$sin^{2}x=\frac{1-cos 2x}{2}$
dostanu
$sin^{4}x=(\frac{1-cos 2x}{2})^{2}$
což dá po úpravách
$sin^{4}x=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}cos 2x+\frac{1}{8}cos4x$
což je však uvedeno jako výsledek příkladu.
Naopak, když se snažím zfourierovat, tak dostanu integrál
$\int_{0}^{\pi }\frac{3}{8}coskx-\frac{1}{2}cos 2xcos kx+\frac{1}{8}cos4xcoskxdx$
První člen po zintegrování vypadne,
dostanu tedy dva integrály,
$\int_{0}^{\pi }-\frac{1}{2}cos2xcoskxdx$
a
$\int_{0}^{\pi }\frac{1}{8}cos4xcoskxdx$
Což nevede k cíli.
Ještě můžu upravit
$cos\alpha cos\beta =\frac{1}{2}(cos(\alpha -\beta )+cos(\alpha +\beta ))$
tedy např. druhý integrál
$\frac{1}{8}cos4xcoskx=\frac{1}{16}cos(4x+k)+\frac{1}{16}cos(4x-k)$
ale ani to nevede k cíli.
Mohl bych poprosit o jakoukoli nápovědu?
Nebo, jak zdůvodnit, že jsem nahoře uvedeným způsobem našel trigonometrickou Fourierovu řadu i bez použití standardního algoritmu pro její výpočet, resp. jak zdůvodnit, že ten trojčlen je skutečně trigonometrická Fourierova řada?
Díky za jakoukoli pomoc!

laszky · 21. 02. 2020 21:47 — Editoval laszky (14. 07. 2022 03:07)

↑ 2M70:

Ahoj. Nevim, co presne chces dokazat, ale mohl by se ti hodit vzorecek ;-)

[mathjax] \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,\mathrm{d}x = \delta_{mn},\; \mbox{pro}\ |m|+|n|>0[/mathjax], takze

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

krakonoš

↑ 2M70:
Ahoj. V zadání by měla být perioda Fourierovy řady a interval, na kterém má být rozvedena fce sin^4 x.Pokud má být pí periodická, lze uvažovat o mezích integrálu (-pí/2;pí/2).Před integrálem má být ještě konstanta 2/pí. Jinak ten integrál bude vpořádku,jedině tam pak bude cos(2kx). Vše je věc zadání. Nezkoušela jsem to ale počítat.

2M70 · 21. 02. 2020 23:05

↑ laszky:
Ahoj. Vím, že má vyjít ten trojčlen tak, jak je uveden, a potřebuji to potvrdit výpočtem podle standardního algoritmu (přes výpočet koeficientu a,k pomocí integrálu), nebo to případně nějak přijatelně zdůvodnit. Chtělo by to, aby z těch dvou integrálů nějak odpadlo to cos kx a zredukovalo se to zpátky na ten jednoduchý trojčlen.

2M70 · 21. 02. 2020 23:09

↑ krakonoš:
Ahoj. Mám rozvíjet na intervalu (0, pí), což je i podle grafu základní perioda.
Jinak, taky se má vyšetřit konvergence té řady, z čehož by na druhou stranu mohlo vyplynout, že se má za "k" dosadit dvojka, čímž by možná vzniklo to 2x a 4x.

krakonoš

↑ 2M70:
Pokud to má být na intervalu (0;pí) a jsou členy ak po integraci nulové, ještě je tam ale člen a0, to by ale byla konstantní funkce ve výsleldku, ty integrály ostatní jsou fakt nulové.Divné zadání

2M70 · 22. 02. 2020 00:17

↑ krakonoš:
Člen a,0 mi paradoxně celkem vyšel:
$a_{0}=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }(\frac{3}{8}-\frac{1}{2}cos 2x+\frac{1}{8}cos4x)dx=$
$=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{3}{8}(\pi -0)-\frac{2}{\pi }\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot [sin2x]^{\pi }_{0}+$
$+\frac{2}{\pi }\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{1}{4}\cdot [sin4x]^{\pi }_{0}=$
$=\frac{3}{4}-0+0$
a
$\frac{a_{0}}{2}=\frac{3}{8}$

krakonoš · 22. 02. 2020 00:30

↑ 2M70:
To mi taky vyšlo, ale ostatní ak budou nulové, bk rovněž vzhledem k sudosti funkce sin^4x.

2M70 · 22. 02. 2020 00:30

Možná by opravdu pomohlo brát periodu od $-\frac{\pi }{2}$ do $\frac{\pi }{2}$ .

Taky jsem někde viděl kosiny nx vyjádřené jako $(-1)^{n}$ a podobně, ale to je pro mě úplná záhada.

2M70 · 22. 02. 2020 00:34

↑ krakonoš:
bk určitě nulové, rozvíjená funkce je sudá. Ale není mi jasná nulovost těch ak.

krakonoš

Zajímavá stejnoměrná konvergence řady, kde ak=bk=0.
$\sum_{}^{}|a_{k}cos(2kx)+b_{k}sin(2kx)|\le \sum_{}^{}0$

krakonoš

↑ 2M70:
Ta nulovost ak mi vyšla výpočtem těch integrálů, jak píšeš i ty

2M70 · 22. 02. 2020 00:50

Snažím se ten příklad najít jako řešený ve všech možných vyhledávačích i v zahraničních stránkách a nejrůznějších sbírkách, ale tenhle všude úplně chybí. Jediné, co mám, je ten výsledek. Postup řešení nikde.

krakonoš · 22. 02. 2020 00:51

↑ 2M70:
A jak to má vyjít??

2M70 · 22. 02. 2020 00:55

↑ krakonoš:
Právě že má vyjít ten trojčlen
$\frac{3}{8}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{8}cos4x$
Jak jsem psal v úvodním příspěvku. Asi jsem to tam dosttatečně nezvýraznil.

krakonoš

↑ 2M70:
Ten první člen vyjde stejně i pokud použiješ $cos^{4}x$ .Otázka je, jaké bylo fakt zadání.Ale tato funkce by znovu vedla k témuž problému, ta to taky nebude. Až to na mě působí, že je chyba ve výsledku , neodpovídá to ani intervalu (-pí/2;pí/2) , usuzuji to z členu a0

2M70 · 22. 02. 2020 11:39

↑ krakonoš:
Stejný výsledek je i tady

https://math.stackexchange.com/question … ier-series

bohužel opět bez postupu :-(

krakonoš

↑ 2M70:
Já ale chtěla výsledek příkladu, ty jsi mi poslal vlastně ekvivalentní vyjádření sin^4 x.
Ale $\int_{-\pi }^{\pi }cos 4x \cdot coskx dx$ tě opravdu dovede k $\int_{-\pi }^{\pi }[cos(4x+kx) + cos(4x-kx)]dx$ , a následně k primitivním funkcím sinus.....(ty konstanty tam nepíšu, to není podstatné, když je to nula).Stejné je to i u prostředního členu.Proto jsem chtěla výsledek té Four řady, jestli tam není chyba tisku. Na tomto intervalu mi to nedává smysl, alespoň s funkcí sin^4 x.

2M70 · 22. 02. 2020 12:40

↑ krakonoš:
Výsledek je uveden ten v příspěvku #15, výsledek pro cos^4x je uveden skoro stejný, jen prostřední člen je s plusem.

krakonoš · 22. 02. 2020 13:05

↑ 2M70:
To jsou ale vyjádření čtvrtých mocnin funkcí sin a cos.

MichalAld

Jeden by neřekl, jak je těžké dokázat, že Fourierova řada funkce sin(x) je zrovna sin(x)...

Já vlatně nechápu, co tady celou dobu řešíte...

Když už se ti podařilo původní funkci rozložit na tvar
$sin^{4}x=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}cos 2x+\frac{1}{8}cos4x$

není na tom co k počítání.

Někde píšeš, že první člen "po zintegrování vypadne" - jenže to není pravda. Vypadne jen když bude k různé od nuly. A stejně tak vypadnou i ostatní členy. Na tom stojí celý ten trik s fourierovou řadou - že jednotlivé funkce řady jsou navzájem "ortogonální" - tedy že integrál součinu cos ax * cos bx je buď 1 (když a=b) nebo nula (když a!=b).

Psal ti to tu Lasky hned v prvním příspěvku...tady...↑ laszky:
(aby to vycházelo přesně 1, musí se to normovat tou konstatnou 2/PI)

MichalAld

Takže když budeš počítat ten integrál

$\int_{0}^{\pi }\frac{3}{8}coskx-\frac{1}{2}cos 2xcos kx+\frac{1}{8}cos4xcoskxdx$

tak dá nenulový výsledek od prvního členu pro k=0, nenulový výsledek pro k=2 od druhého členu a nenulový výsledek pro k=4 od třetího členu. Pro všechna ostatní k bude výsledek nulový. Abys ovšem dostal přímo fourierovy koeficienty, musíš tam ještě doplnit tu normovací konstantu.

MichalAld · 22. 02. 2020 14:26

2M70 napsal(a):
Jinak, taky se má vyšetřit konvergence té řady, z čehož by na druhou stranu mohlo vyplynout, že se má za "k" dosadit dvojka, čímž by možná vzniklo to 2x a 4x.

Konvergenci řady má smysl řešit, když je řada nekonečná. Když má jen konečný počet členů, tak tam nemá co konvergovat.

A ano, za k se postupně dosazují čísla 0, 1, 2, 3 .... až do nekonečna.

2M70 · 22. 02. 2020 14:32

↑ MichalAld:

Podle mě je na tom co řešit - jak tedy dokázat, že to je Fourierova řada, když to mám doložit standardním výpočtem - a ten nevím, jak provést?

Nebo jak to dokázat jiným způsobem? Když uvedu jen ten rozklad sin^4x, tak je to jen tvrzení bez důkazu - a to mi nebude uznáno.

2M70 · 22. 02. 2020 15:00

Jinak, fakt nevíte o nějaké sbírce řešených příkladů, kde by tenhle příklad mohl být řešený? Už jsem toho prohledal dost, ale nikde nenašel.

Matematické Fórum

#1 21. 02. 2020 21:10

Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#2 21. 02. 2020 21:47 — Editoval laszky (14. 07. 2022 03:07)

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#3 21. 02. 2020 22:04 — Editoval krakonoš (21. 02. 2020 22:43)

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#4 21. 02. 2020 23:05

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#5 21. 02. 2020 23:09

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#6 21. 02. 2020 23:46 — Editoval krakonoš (21. 02. 2020 23:54)

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#7 22. 02. 2020 00:17

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#8 22. 02. 2020 00:30

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#9 22. 02. 2020 00:30

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#10 22. 02. 2020 00:34

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#11 22. 02. 2020 00:44 — Editoval krakonoš (22. 02. 2020 00:46)

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#12 22. 02. 2020 00:48 — Editoval krakonoš (22. 02. 2020 00:50)

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#13 22. 02. 2020 00:50

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#14 22. 02. 2020 00:51

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#15 22. 02. 2020 00:55

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#16 22. 02. 2020 01:08 — Editoval krakonoš (22. 02. 2020 01:52)

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#17 22. 02. 2020 11:39

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#18 22. 02. 2020 11:56 — Editoval krakonoš (22. 02. 2020 12:12)

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#19 22. 02. 2020 12:40

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#20 22. 02. 2020 13:05

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#21 22. 02. 2020 13:50 — Editoval MichalAld (22. 02. 2020 14:23)

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#22 22. 02. 2020 14:23 — Editoval MichalAld (22. 02. 2020 14:24)

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#23 22. 02. 2020 14:26

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

2M70 napsal(a):

#24 22. 02. 2020 14:32

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

#25 22. 02. 2020 15:00

Re: Trigonometrická Fourierova řada funkce sin^4x

Zápatí