Matematické Fórum

stuart clark · 18. 03. 2020 15:21

Number of integer values of $n\geq 10$ for which $\binom{n}{10}^2+\binom{n}{9}\cdot \binom{n}{10}$ is a perfect square.

kerajs · 22. 03. 2020 00:48

$& k,a,b \in N_+\\ & \\ & {n \choose 10}^2+ {n \choose 10} {n \choose 9}= {n \choose 10}^2+ {n \choose 10} {n \choose 10} \cdot \frac{10}{n-9} = {n \choose 10}^2 \cdot \frac{n+1}{n-9}\\ & \begin{cases} n+1=ka^2 \\ n-9=kb^2 \end{cases} \Rightarrow 10=k(a+b)(a-b)\\ & I) k=1\\ & 10=(a+b)(a-b)\\ & \begin{cases} 10=a+b \\ 1=a-b \end{cases} \vee \begin{cases} 5=a+b \\ 2=a-b \end{cases} \\ & \begin{cases} a=5,5 \\ b=4,5 \end{cases} \vee \begin{cases} a=3,5 \\ b=1,5 \end{cases} \\ & a,b \not \in N_+ \Rightarrow no solution \\ & \\ & II) k=2\\ & 10=2(a+b)(a-b)\\ & \begin{cases} 5=a+b \\ 1=a-b \end{cases} \\ & \begin{cases} a=3 \\ b=2 \end{cases} \\ & one solution: n=17 \\ & \\ & III) k=5\\ & 10=5(a+b)(a-b)\\ & \begin{cases} 2=a+b \\ 1=a-b \end{cases}\\ & \begin{cases} a=1,5 \\ b=0,5 \end{cases} \\ & a,b \not \in N_+ \Rightarrow no solution$

Matematické Fórum

#1 18. 03. 2020 15:21

integer value

#2 22. 03. 2020 00:48

Re: integer value

Zápatí