Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 18. 03. 2020 15:21

stuart clark
Příspěvky: 1010
Reputace:   
 

integer value

Number of integer values of $n\geq 10$ for which $\binom{n}{10}^2+\binom{n}{9}\cdot \binom{n}{10}$ is a perfect square.

Offline

 

#2 22. 03. 2020 00:48

kerajs
Příspěvky: 234
Reputace:   20 
 

Re: integer value

$
& k,a,b \in N_+\\
& \\
&  {n \choose 10}^2+ {n \choose 10} {n \choose 9}=  {n \choose 10}^2+ {n \choose 10} {n \choose 10} \cdot  \frac{10}{n-9} = {n \choose 10}^2 \cdot  \frac{n+1}{n-9}\\
&  \begin{cases} n+1=ka^2 \\ n-9=kb^2 \end{cases}    \Rightarrow  10=k(a+b)(a-b)\\
& I)  k=1\\
& 10=(a+b)(a-b)\\
&  \begin{cases} 10=a+b \\ 1=a-b  \end{cases}   \vee   \begin{cases} 5=a+b \\ 2=a-b  \end{cases} \\
&  \begin{cases} a=5,5 \\ b=4,5  \end{cases}   \vee   \begin{cases} a=3,5 \\ b=1,5  \end{cases} \\
& a,b \not \in N_+   \Rightarrow   no  solution \\
& \\
& II)  k=2\\
& 10=2(a+b)(a-b)\\
&  \begin{cases} 5=a+b \\ 1=a-b  \end{cases}  \\
&  \begin{cases} a=3 \\ b=2  \end{cases} \\
&  one   solution:  n=17 \\
& \\
& III)  k=5\\
& 10=5(a+b)(a-b)\\
&  \begin{cases} 2=a+b \\ 1=a-b  \end{cases}\\
&  \begin{cases} a=1,5 \\ b=0,5  \end{cases} \\
& a,b \not \in N_+   \Rightarrow   no   solution $

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson