Matematické Fórum

Niky1 · 18. 09. 2009 19:36

Zdravim,
mela bych takovy dotaz. Netusite, podle ceho se urcuje konvergence ci existence L.integralu?
Diky

jarrro · 18. 09. 2009 20:08

Niky1 · 18. 09. 2009 21:57

Defnici znam, ale potrebovala bych spis poradit s praktickou strankou.
Tak napr. mam vyzkoumat existenci ci konvergenci L.integralu pro funkci log(sinx)

Pavel Brožek · 18. 09. 2009 22:24

Přes jakou množinu?

Niky1 · 18. 09. 2009 22:38

(0,1)

Pavel Brožek

Pro libovolné $\delta>0$ (ale dostatečně malé, abychom zůstali v intervalu - viz dále) je funkce spojitá na uzavřené omezené množině $[\delta, 1]$ , takže integrál na ni konverguje. Zbývá zjistit, jestli konverguje i integrál přes $(0,\delta)$ . Funkce je tady záporná, tak budu hledat jinou ještě menší funkci, jejíž integrál konverguje, a dokážu tak i konvergenci integrálu naší funkce. Určitě platí $\sin x >\frac12x$ a tedy $\ln \sin x > \ln \frac12x$ . Například výpočtem limity si ověříme, že pro dostatečně malé $\delta$ platí $\ln\frac12x>-\frac1{(\frac12x)^2}=-\frac4{x^2}$ . Integrál z této funkce ale konverguje.

Závěr tedy je, že integrál přes (0,1) konverguje.

Pavel · 21. 09. 2009 11:07

Trošku odbočím,

najděte funkci f a interval I, na němž je f integrovatelná v Newtonově smyslu, avšak není integrovatelná v Lebesgueově smyslu :-)

Marian · 21. 09. 2009 13:58

↑ Pavel:
Domnívám se, že hledanou funkcí je
$f(x):=x\cdot\sin\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}\cdot\cos\frac{1}{x^2},\qquad x\in (0,1).$

To lze nalézt také zde.

Rumburak

↑ Pavel:
Takovým integrálrm je každý NI, který je konvergentní NEABSOLUTNĚ, např.

$\int_0^{+\infty} \frac {\sin x}{x}\text{d}x$ ,

neboť jednou z vlastností LI je absolutní konvergence.
Případy, kdy LI neeexistuje, ač množina M, přes kterou se integruje, je měřitelná , a rovněž integrovaná funkce f je měřitelná
(a definovaná skoro všude v M), jsou právě ony, kdy žádný z L-integrálů
$\int_M f^+$ , $\int_M f^-$
nemá konečnou hodnotu.

(Funkci navrženou kolegou Marianem jsem nezkoumal.)

Matematické Fórum

#1 18. 09. 2009 19:36

Lebesgueuv integral

#2 18. 09. 2009 20:08

Re: Lebesgueuv integral

#3 18. 09. 2009 21:57

Re: Lebesgueuv integral

#4 18. 09. 2009 22:24

Re: Lebesgueuv integral

#5 18. 09. 2009 22:38

Re: Lebesgueuv integral

#6 18. 09. 2009 23:14 — Editoval BrozekP (18. 09. 2009 23:17)

Re: Lebesgueuv integral

#7 21. 09. 2009 11:07

Re: Lebesgueuv integral

#8 21. 09. 2009 13:58

Re: Lebesgueuv integral

#9 21. 09. 2009 14:45 — Editoval Rumburak (21. 09. 2009 16:53)

Re: Lebesgueuv integral

Zápatí