Matematické Fórum

latram · 08. 01. 2008 18:41

Prosím o radu, jak mám postupovat u následujícího příkladu

Vůbec netuším, jak do toho

Marian · 08. 01. 2008 22:07 — Editoval Marian (08. 01. 2008 22:27)

Z toho, co vidim a rozeznam na monitoru, se domnivam, ze se jedna o posloupnost, jejiz n-ty clen je dan vztahem

$a_n:=\frac{n}{n+1}\cdot\cos\frac{2\pi n}{3}.$

Nejprve k prve casti, tedy k posloupnosti {a_n} samotne. Omezenost je jasna. Totiz posloupnost
$\left\{\cos\frac{2\pi n}{3}\right\}_{n=1}^{\infty}$
je omezena zrejme. Protoze ale
$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1$ ,
je take posloupnost $\left\{\frac{n}{n+1}\right\}_{n=1}^{\infty}$ omezena. S trochu vice usilim by se dalo dokazat, ze pro vsechna prirozena cisla n plati

$\left |\cos\frac{2\pi n}{3}\right |\le 1$ a $\left |\frac{n}{n+1}\right|<1$ .

Proto take posloupnost {a_n} je omezena, coz plyne napriklad z faktu, ze
$\left |\frac{n}{n+1}\cdot\frac{2\pi n}{3}\right |<1$ .
Odtud je take jiz videt omezenost posloupnosti {|a_n|}.

U monotonie to bude trochu slozitejsi. Totiz obe posloupnosti (minim posl. {a_n} a {|a_n|}) nejsou monotonni. Nejprve se vyjdrim k hodnotam posloupnosti $\left \{\cos\frac{2\pi n}{3}\right\}_{n=1}^{\infty}$ . Za timto ucelem budu zkoumat posloupnost, ktera ma v kosinu trojnasobny argument (tim se zbavim zlomku). Vyuziji dale skutecnosti, ze pro kazde realne cislo x plati vztah
$\cos (3x)=4\cos ^3x-3\cos x$ .
Poozime-li $x=\frac{2\pi n}{3}$ , mame $3x=2\pi n$ . Odtud snadno
$cos (2\pi n)=4\cos ^3\left (\frac{2\pi n}{3}\right )-3\cos\left (\frac{2\pi n}{3}\right )$ .
Protoze ale $\cos (2\pi n)=1$ , mame z predchoziho kubickou rovnici $4y^3-3y-1=0$ s neznamou $y=\cos\left (\frac{2\pi n}{3}\right )$ . Je snadno videt, ze jedno reseni je y=1 (to dostaneme pro volbu n=nejake prirozene cislo delitelne tremi). Dals rozklad pak lehce dava dvojnasobny koren y=-1/2 (pro volbu n=prirozene cislo nemajici za delitele trojku). Jine hodnoty tedy vyraz $y=\cos\left (\frac{2\pi n}{3}\right )$ nenabyva.

V pripade posloupnosti {a_n} se budou tedy stridat pravidelne kladne a zaporne hodnoty (kladne pro prirozena n delitelna tremi), zaporne pro ostatni volby n. Navic posloupnost {n/(n+1)} je rostouci a omezena. Odtud pak plyne, ze posloupnost {a_n} nemuze byt monotonni.

Podobne argumenty lze uzit i v pripade posloupnosti {|a_n|}. Zde se budou pro dostatecne velka prirozena cila n stridat hodnoty velice blizke 1/2 a 1. Take zde nemuzeme hovorit o monotonnosti posloupnosti.

Matematické Fórum

#1 08. 01. 2008 18:41

Omezenost a monotonnost posloupnosti

#2 08. 01. 2008 22:07 — Editoval Marian (08. 01. 2008 22:27)

Re: Omezenost a monotonnost posloupnosti

Zápatí