Matematické Fórum

Jakub1 · 04. 05. 2020 12:57

Dobrý deň,

ako jednoducho a elegantne ukázať platnosť tohto výroku? [Ak teda platí.]

"Je daná spojitá funkcia $f:X\subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ definovaná na otvorenej množine $X$ . Nech pre $\hat{x} \in X$ platí $f(\hat{x})=0$ . Potom $\hat{x}$ nie je vnútorným bodom množiny $M = \{x \in X : f(x) \le 0\}$ ".

Ja by som začal takto: zo spojitosti $f$ špeciálne v bode $\hat{x}$ platí:
$\forall \varepsilon >0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x \in X : x \in \mathcal{B}(\hat{x},\delta) \Rightarrow f(x) \in (-\varepsilon, \varepsilon)$

Neviem však ukázať, že $\forall r > 0 : \mathcal{B}(\hat{x},r) \not\subset M$ . Sú nutné nejaké dodatočné predpoklady?

Vďaka za pomoc.

Stýv · 04. 05. 2020 13:20

Zkus radši najít nějaký triviální protipříklad.

Jakub1 · 04. 05. 2020 13:28

↑ Stýv: Protipríklad čoho?

vlado_bb · 04. 05. 2020 13:30

↑ Jakub1:Tvrdenia, ktore uvadzas.

Jakub1 · 04. 05. 2020 13:41

↑ vlado_bb: Dobre, rozumiem. Ak $f(x) = 0$ pre všetky $x \in X := \mathbb{R}^n$ (čo je otvorená množina), potom ten naozaj neplatí.

Iná otázka by bola, aké dodatočné predpoklady treba priradiť funkcii $f$ , aby ten výrok platil?

Matematické Fórum

#1 04. 05. 2020 12:57

Vnútorný bod

#2 04. 05. 2020 13:20

Re: Vnútorný bod

#3 04. 05. 2020 13:20 Příspěvek uživatele vlado_bb byl skryt uživatelem vlado_bb. Důvod: prilis silna napoveda

#4 04. 05. 2020 13:28

Re: Vnútorný bod

#5 04. 05. 2020 13:30

Re: Vnútorný bod

#6 04. 05. 2020 13:41

Re: Vnútorný bod

Zápatí