Matematické Fórum

theterka14 · 11. 05. 2020 11:40

Ahoj, mohl by mi prosím někdo poradit, jak u tohoto příkladu postupovat, nebo spíš, zda postupuji dobře?
Děkuji.

Určete řešení diferenciální rovnice splňující danou počáteční podmínku.
Určete také interval maximálního řešení.
Zadání: $y' = y(x-1)^{-2}$ podminka: $y(0) = -1$

začala jsem tedy upravovat, abych získala levou stranu: $\frac{dy}{dx} = y(x-1)^{-2}$
z toho jsem získala: $\ln|y|= \frac{-1}{(x-1)}$ a z toho tedy $y = C e^{\frac{-1}{x-1}}$ a dále bych dala C jako funkci a začala derivaci, ale nevím, zda mám začátek dobře, derivace nevypadá hezky. Děkuji.

theterka14 · 11. 05. 2020 12:01

po derivaci mi vyšlo $C'(x) = 1$ a poté integrace, $y = (x + C)e^{\frac{-1}{x-1}}$

misaH · 11. 05. 2020 12:07

↑ theterka14:

Ahoj.

Nie som expert ani náhodou - ale nemá platiť

$y(0)=-1$ ?

Platí to?

theterka14 · 11. 05. 2020 12:10

↑ misaH: ano, ale to se tam dosazuje až před závěrem, ne? Nebo tak to mám já u svých poznámek.
Děkuji :)

surovec

Prostě jen dosaď podmínku do toho $y(x) = C \cdot \mathrm{e}^{\frac{-1}{x-1}}$ ...

Jj · 11. 05. 2020 13:02 — Editoval Jj (11. 05. 2020 13:19)

z↑ theterka14:

Hezký den.

Obecným řešením této diferenciální rovnice

$y' = y\cdot(x-1)^{-2}$

je funkce

$y = C e^{\frac{-1}{x-1}}$ , kde C je integrační konstanta. Potud je Vaše řešení v pořádku.

Tuto konstantu je třeba určit tak, aby platilo

$y(0) = -1$ , tj. aby graf funkce procházel bodem (0, -1).

Takže žádné derivace a pod. (je to něco jiného než variace konstant), jednoduše dosadit za x 0 a spočítat C:

$C e^{\frac{-1}{0-1}} = -1\quad\Rightarrow \quad C =\cdots$

Tím po dosazení této hodnoty za C do Vašeho obecného řešení dostanete jedno konkrétní (partikulární) řešení, které už integrační konstantu neobsahuje, ale splňuje zadanou podmínku. To je Vaším úkolem v této úloze.

theterka14 · 11. 05. 2020 14:21

↑ Jj: Aha, děkuji. A jak poznám, že zde nepoužívám variaci konstant?

Po dosazení mi tedy vyšlo $C = \frac{-1}{e}$ a poté dosazení: $y = \frac{-1}{e}e^{\frac{-1}{x-1}}$

surovec · 11. 05. 2020 14:45

↑ theterka14:
To spolu přece nijak nesouvisí. Variace konstant je metoda řešení DR, zatímco počáteční podmínky jen konkretizují konstanty v obecném řešení.

theterka14 · 11. 05. 2020 14:58

↑ surovec: Už chápu, pomotala jsem to dohromady. Děkuji za vysvětlení :)

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2020 11:40

řešení diferenciální rovnice spňující počáteční podmínku

#2 11. 05. 2020 12:01

Re: řešení diferenciální rovnice spňující počáteční podmínku

#3 11. 05. 2020 12:07

Re: řešení diferenciální rovnice spňující počáteční podmínku

#4 11. 05. 2020 12:10

Re: řešení diferenciální rovnice spňující počáteční podmínku

#5 11. 05. 2020 12:39 — Editoval surovec (11. 05. 2020 12:40)

Re: řešení diferenciální rovnice spňující počáteční podmínku

#6 11. 05. 2020 13:02 — Editoval Jj (11. 05. 2020 13:19)

Re: řešení diferenciální rovnice spňující počáteční podmínku

#7 11. 05. 2020 14:21

Re: řešení diferenciální rovnice spňující počáteční podmínku

#8 11. 05. 2020 14:45

Re: řešení diferenciální rovnice spňující počáteční podmínku

#9 11. 05. 2020 14:58

Re: řešení diferenciální rovnice spňující počáteční podmínku

Zápatí