Matematické Fórum

vingl · 17. 05. 2020 14:45

začal jsem takto:
1. /BC/=a
2. S_a; /CS_a/=/S_aB/
3. o_a; osa BC
4. o_ρ; o_ρ∥BC ve vzdálenosti ρ
5. k; k(S_a,t_a)
6.
a skončil jsem

díky za vysvětlení

jelena · 21. 05. 2020 09:18

Zdravím,

pokud je $\rho$ - poloměr kružnice vepsané, potom konstrukci "strana, těžnice na stranu, poloměr kružnice vepsané" popsala kolegyně Tychi (mimo jiné měla přečtenou knihu, jak zde uvádí vč. důkazu).

Souhlasí to se zadáním? Děkuji.

surovec · 21. 05. 2020 14:52

↑ vingl:
Asi si z vás učitel vystřelil, úloha není eukleidovsky konstruovatelná.

vingl · 21. 05. 2020 15:15

↑ surovec:
díky za info.
Můžeš mi prozradit, jak bych poznal, že konstrukce není euklidovsky konstruovatelná?

misaH · 21. 05. 2020 15:22

↑ surovec:

Však v tom jednom odkaze je postup konštrukcie.

surovec

↑ misaH:
V tom odkazu je popsaná jiná úloha (v_a, t_a, rho, resp. v_a,v_b,rho) než zde (a, t_a, rho).
↑ vingl: Na pohled se to poznat nedá. Zjistit to můžeš početním řešením - vyjde ti rovnice stupně vyššího než druhého. V tomto případě to vede na kubickou rovnici.

misaH · 21. 05. 2020 15:28

↑ surovec:

:-)

surovec

↑ misaH:
Už vím, jde tam o jinou úlohu (viz edit mého předchozího příspěvku).

Honzc · 21. 05. 2020 17:15 — Editoval Honzc (22. 05. 2020 19:38)

↑ vingl:
Já jsem tuto úlohu řešil už cca před 10-ti roky. (a opravdu není euklidovsky řešitelná)
Tak jen sem dám můj výsledek
Označme: $k=b+c$
Pak se dá odvodit vztah
$\frac{k+a}{k^{2}-4t_{a}^{2}}=\frac{k-a}{4\varrho ^{2}}$
což vede na kubickou rovnici
$k^{3}-ak^{2}-4(t_{a}^{2}+\varrho ^{2})k+4a(t_{a}^{2}-\varrho ^{2})=0$
jako $k=b+c$ bereme největší z kořenů předešlé rovnice
Potom
$b,c=\frac{k\pm \sqrt{a^{2}+4t_{a}^{2}-k^{2}}}{2}$
Ještě podmínky řešitelnosti
$a,t_{a},\varrho >0\wedge \varrho \le \frac{at_{a}}{a+\sqrt{a^{2}+4t_{a}^{2}}}$

misaH · 21. 05. 2020 18:09

↑ surovec:

Aha - vidíš.

U nás sa hovorí: čo sa babe chcelo, to sa babe snilo.
Kontrolovala som to a zle - no, čo už teraz...

Maj sa.

misaH · 21. 05. 2020 18:09

↑ Honzc:

:-)

No teda... 👍

vingl · 22. 05. 2020 08:03

↑ Honzc:
Díky. Pro mne je to ale jiná liga.

nejsem_tonda · 22. 05. 2020 09:21

↑ vingl:
Nic si z toho nedelej. Ja mu taky nerozumim. Predevsim vztahu
$b,c=\frac{k\pm \sqrt{a^{2}+4t_{a}^{2}-k^{2}}}{2}$
ve kterem vyjadruje b, c pomoci k = b + c. To je nejake divne vyjadrovat b pomoci b, ne? (resp. vyjadrovat c pomoci c)

Skoro to vypada jako kdyby to zkopiroval z nejake ulohy, ve ktere bylo zadano b+c.

Navic vse se odehrava bez vysvetleni, coz nepomaha do te situace ziskat vetsi vhled.

Honzc · 22. 05. 2020 11:35

↑ nejsem_tonda:
$b,c$ znamená že výraz na pravé straně značí se znaménkem + třeba hodnotu b a se znaménkem - hodnotu c. (nic víc , nic míň)
Z žádné úlohy jsem to samozřejmě nezkopíroval.

Cheop · 22. 05. 2020 12:04

;↑ Honzc:
Zdravím
No ale Ty máš:
$k=b+c$ a tedy tvůj vztah je:
$b,c=\frac{(b+c)\pm \sqrt{a^{2}+4t_{a}^{2}-(b+c)^{2}}}{2}$ což je opravdu divné.

nejsem_tonda · 22. 05. 2020 13:40

↑ Honzc:
Tak jsem zapisu rozumel, ale jde presne o to, co napsal Cheop.

surovec · 22. 05. 2020 15:05

↑ nejsem_tonda:
Ty podmínky má zcela správně, mně tak také vyšly (jen jsem to měl v usměrněném tvaru) a sedí i při testování. Ale získával jsem to jinak.

nejsem_tonda · 22. 05. 2020 16:25

↑ surovec:
Tomu dost verim.

Ja uz asi i chapu, jak to Honzc mysli. On proste vezme nejvetsi koren rovnice
$k^{3}-ak^{2}-4(t_{a}^{2}+\varrho ^{2})k+4a(t_{a}^{2}-\varrho ^{2})=0$
Lepsi by bylo oznacit ten nejvetsi koren jinak nez k, treba $\kappa$ . Potom tvrdi, ze strany b,c se spocitaji jako
$b,c=\frac{\kappa\pm \sqrt{a^{2}+4t_{a}^{2}-\kappa^{2}}}{2}$
To nejspis zjistil tak, ze vi, ze soucet $b+c$ je $\kappa$ a asi jeste z nejakeho jineho vztahu umi vyjadit soucin $bc$ . Hadam.

Kdyz zna soucet a soucin, vede to na nejakou kvadratickou rovnici, jejiz reseni umime exlicitne napsat.

Honzc · 22. 05. 2020 17:57 — Editoval Honzc (22. 05. 2020 18:06)

↑ nejsem_tonda:
Já nevím co tady pořád řešíš.
Tak ještě jednou a po lopatě:
Z té kubidké rovnice spočítaš kořeny $k_{1},k_{2},k_{3}$
Z nich vybereš největší a označíš ho $k$
A potom
$b=\frac{k+ \sqrt{a^{2}+4t_{a}^{2}-k^{2}}}{2}$
$c=\frac{k- \sqrt{a^{2}+4t_{a}^{2}-k^{2}}}{2}$
a nebo naopak (pokud $\varrho= \frac{at_{a}}{a+\sqrt{a^{2}+4t_{a}^{2}}}$ pak je řešení jenom jedno)
Např. pro $a=3,t_{a}=2,\varrho =\frac{3}{4}$ je řešení pouze jedno (tj. $b=c$ )

Honzc · 22. 05. 2020 18:05

↑ Cheop:
Čau,
tím zápisem jsem si chtěl pouze ušetřit psaní (a neřeš to)

nejsem_tonda

↑ Honzc:

Já nevím co tady pořád řešíš.

Ocividne neco uplne jineho nez ty. Pouziti carky v zapisu $b,c=\ldots$ mi vubec nevadilo a ani to nebylo to, na co jsem se ptal.

Resil jsem to, ze kdyby k bylo funkci b, tak potom
$b=\frac{k+ \sqrt{a^{2}+4t_{a}^{2}-k^{2}}}{2}$
by nebylo korektni vyjadreni b.

Jenze ono se da vyjadrit k jako funkce $a, t_a, \varrho$ , takze je to nakonec ok.

jelena · 27. 06. 2020 15:25

Zdravím,

↑ vingl:, ↑ surovec: pravda, přiřadila jsem kolegyni Tychi úplně jiné zadání, přitom ten její příspěvek měl tak podstatný vliv na vyřešení jiné konstrukce (věčný trojúhelník odolával 2,5 roku, přitom algebraicky bylo odvozeno, že řešení má a je sestrojitelný).

↑ vingl: není třeba mít obavy z algebraických odvození, obvykle se vystačí s větami pro pravoúhlý trojúhelník, se vzorci pro obsahy a obvody (také s vazbou na poloměry opsaných a vepsaných kružnic), goniometrické vztahy se dají často nahradit vyjádřením pro podobnost. Co se moc neučí (snad jen pro olympiády a v rozšířené výuce) speciální vlastnosti bodů, přímek a dalších prvků v trojúhelníku, ale pokud používáte kvalitní zdroje, tak se podaří dostudovat. Horši je, když je algebraicky odvozeno jako sestrojitelné a člověk vytrvale odolává cestě sestrojení algebraického výrazu a očekává, že napadne něco pěknějšího :-) Viz "věčný trojúhelník" a snad i některá další konstrukční témata.

Přeji zdar a omluva za odkaz, který se nevztahuje k problému v tématu.

Matematické Fórum

#1 17. 05. 2020 14:45

konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#2 21. 05. 2020 09:18

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#3 21. 05. 2020 14:52

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#4 21. 05. 2020 15:15

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#5 21. 05. 2020 15:22

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#6 21. 05. 2020 15:27 — Editoval surovec (21. 05. 2020 15:30)

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#7 21. 05. 2020 15:28

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#8 21. 05. 2020 15:31 — Editoval surovec (21. 05. 2020 15:31)

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#9 21. 05. 2020 17:15 — Editoval Honzc (22. 05. 2020 19:38)

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#10 21. 05. 2020 18:09

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#11 21. 05. 2020 18:09

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#12 22. 05. 2020 08:03

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#13 22. 05. 2020 09:21

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#14 22. 05. 2020 11:35

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#15 22. 05. 2020 12:04

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#16 22. 05. 2020 13:40

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#17 22. 05. 2020 15:05

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#18 22. 05. 2020 16:25

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#19 22. 05. 2020 17:57 — Editoval Honzc (22. 05. 2020 18:06)

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#20 22. 05. 2020 18:05

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#21 22. 05. 2020 20:02 — Editoval nejsem_tonda (22. 05. 2020 20:10)

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

#22 27. 06. 2020 15:25

Re: konstrukce trojúhelníku; zadání: a, ta, ro

Zápatí