Matematické Fórum

cocoa · 21. 05. 2020 18:27

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-05/77385_Screenshot_2020-05-21%2Bzadani%2Bdvi%2B-%2Bvzor01%2Bpdf.png

Dobrý den.

Než začneme, rád bych se zeptal, jak můžu obecněji nazývat používanou konstantu $k$ .

Například při: $k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Můžu říct, že $k=1$ je první fáze, $k=2$ je druhá fáze, protože např. funkce $\sin$ se při $k=2$ už opakuje poprvé?

A teď k příkladu; jak jsem postupoval:

$\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{2}$
$2\sin \alpha \cdot \cos \alpha = 1$
$sin 2\alpha =1$

Pro jakou $\alpha$ je $\sin \alpha =1$ :
$\frac{\pi }{2}+2k\pi$

No a my chcem $2\alpha$ , takže celý výsledek vydělíme číslem $2$ :
$\frac{\pi }{4}+k\pi$

Teď víme, že $\alpha =\frac{\pi }{4}+k\pi$ , ale my máme ještě interval, který nás omezuje.

Interval leží v první fázi, takže $k=1$ a výsledná $\alpha =\frac{5\pi }{4}$ .

Dále $\text{tg}(\pi -\frac{5\pi }{4})=\text{tg}(-\frac{\pi }{4})$ .

$\text{tg}(\frac{\pi }{4})=1$ , takže $\text{tg}(-\frac{\pi }{4})=-1$ .

Správná odpověď je d).

Důvod proč se raději zeptám je, že tyhle příklady jsou dělaný tak, že jakákoli malá, ale častá chyba a tedy výsledek chybný je taky mezi odpovědmi, tudíž si nikdy nejsem jistý.

zdenek1 · 21. 05. 2020 19:33

↑ cocoa:
Odpověď je dobře.

To, čemu říkáš "fáze" se normálně nazývá "peroida".
Jen se to počítá od nuly, tj, první perioda je pro $k=0$

cocoa · 21. 05. 2020 20:19

↑ zdenek1:

Pak by rovnice byla: $\frac{\pi }{4}+0\cdot \pi =\frac{\pi }{4}$ , což není správný výsledek, ne?

Když $\alpha$ leží v první periodě, tedy $k=0$ .

misaH · 21. 05. 2020 22:03

↑ cocoa:

Poriadne si prečítaj otázku.

cocoa · 21. 05. 2020 22:08

↑ misaH:

Hotovo, stále se mi nerozsvítilo, zkuste prosím jen trochu napovědět.

misaH · 21. 05. 2020 22:10 — Editoval misaH (21. 05. 2020 22:11)

↑ cocoa:

Zistil si alfu rovnú píštvrť (je to dobre, prvé k=0) a otázka je o...

cocoa · 21. 05. 2020 22:18 — Editoval cocoa (21. 05. 2020 22:19)

↑ misaH:

Otázka je, zda pro $tg$ platí; jedna z odpovědí.

Ale $\frac{\pi }{4}$ není ani ze zadaného intervalu, tudíž dál počítač už by nemělo cenu, ne?

Když se vrátím zpět: daný interval je z první periody, pokud je $k=1$ rovno druhé periodě, proč vyšel výsledek, když dosadím $k=1$ do rovnice?

Měl bych dosadit $k=0$ , to ale vychází na $\text{tg}(\pi -\frac{\pi }{4})=\text{tg}(\frac{3\pi }{4})$ , což je ...

misaH · 21. 05. 2020 22:20 — Editoval misaH (21. 05. 2020 22:20)

↑ cocoa:

Ten posledný tangens je -1.

cocoa · 21. 05. 2020 22:27

↑ misaH:

No jo, koukám na to.

Takže u $\sin$ a $\cos$ se pomocí $k$ určuje perioda a u $\text{tg}$ a $\text{cotg}$ posunutí po ose $x$ ?

misaH · 21. 05. 2020 22:31 — Editoval misaH (21. 05. 2020 22:34)

↑ cocoa:

Vieš - ja som si nevšimla, resp. neuvedomila, že alfa má byť od pí po dve pí, prepáč..
Takže tie tvoje prvé úvahy boli správne.

Tangens má periódu kpí a je to nepárna funkcia, takže asi preto to sedí v oboch prípadoch...

sinus a kosínus majú periódu dve pí

Perióda - interval, po ktorom sa hodnoty funkcie opakujú

cocoa · 21. 05. 2020 22:51

misaH napsal(a):
↑ cocoa:

Tangens má periódu kpí a je to nepárna funkcia, takže asi preto to sedí v oboch prípadoch...

Můžete to prosím trochu lépe vysvětlit nebo mě odkázat na nějaké termíny co nastudovat?

misaH · 21. 05. 2020 22:54

↑ cocoa:

Nájdi si grafy sinx a tanx, tam je tie periódy vidieť.

Vlnovka pre sinus sa opakuje vždy po dvoch pí, krivka tangensu sa opakuje vždy po pí

cocoa · 21. 05. 2020 23:14

Vidím, takže $\text{tg}$ je také periodický, ale nenavazuje na sebe, nýbrž se posouvá po ose $x$ v závislosti na $k$ .

cocoa · 22. 05. 2020 01:49

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-05/03648_1200px-Tan_proportional.svg.png

Mám 2 otázky:

1) Když $\alpha \in (\pi ,2\pi )$ , jak můžeme říct, o jakou periodu jde, když od $\pi$ do $\frac{3\pi }{2}$ je to 2. půlka 2. periody a od $\frac{3\pi }{2}$ do $2\pi$ je to 1. půlka 3. periody?

2) Definiční obor $\text{tg}$ je $\mathbb{R}-\{\frac{\pi }{2}+k\pi \}$ , kdy předpokládám, že ta množina jsou krajní body grafu, kterých hodnota $x$ pro $\text{tg}$ nikdy nemůže nabývat. Jak je ale možné, že ta množina ošetřila oba krajní body? Neměla by ošetřit první (levý) krajní body, jako $-\frac{\pi }{2}+k\pi$ a potom druhý (pravý) krajní body, jako $\frac{\pi }{2}+k\pi$ ?

misaH · 22. 05. 2020 04:33 — Editoval misaH (22. 05. 2020 05:05)

↑ cocoa:

Nechápem.

Ty si môžeš dať vždy interval aký chceš a skúmať, ako sa funkcia na tom intervale správa.

Perióda tangensu je násobok čísla pí, to znamená podľa mňa iba to, že po každom pí sa hodnoty tangensu (y) opakujú. Vrátane bodov, v ktorých nie je tangens definovaný. Tie sa tiež opakujú pravidelne po každom pí.

A mimochodom, aj u sinusu je to tak isto, iba sinus nie je "prerušený" a hodnoty sa opakujú vždy po 360° (2pí).

Napríklad tangens uhla je rovný 0 pre 0°, potom pre 180° (pí), potom pre 360° (2pí), potom pre 540° (3pí) a tak ďalej.

Tangens 1 majú uhly 45° (pí/4), 225° (5/4 pí), ...

Medzi pí a 2 pí leží vždy len jediná hodnota tangensu, po 270° kladná, do 360° záporná - veď to je na grafe vidno, v 270° nie je tangens definovaný.

zdenek1 · 22. 05. 2020 06:48

↑ cocoa:
NA tom, ve které periodě to počítáš vůbec nezáleží.
V prvním příspěvku ses ptal, jestli máš správnou odpověď. A odpověď byla "ano".
Nicméně ostup, který jsi zvolil je ve skutečnosti zbytečně složitý.
Po první úpravě
$2\sin\alpha\cos\alpha=1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$
$\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=0$
$(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=0$
$\sin\alpha=\cos\alpha$
$\tan\alpha=1$

a protože funkce tangens má pzákladní periodu $\pi$ a je lichá, platí $\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha$

Všimni si, že vůbec nepotřebuješ počítat konkrétní úhel a také nemusíš řešit $k$