Matematické Fórum

matikajesuper · 03. 10. 2009 19:18

Tak takú úlohu mám vypočítať za domácu úlohu som prvák na mat. gympli. Neviem si s nou rady

Pavel · 06. 10. 2009 10:29 — Editoval Pavel (06. 10. 2009 10:32)

↑ matikajesuper:

Nechť $a,b\in\mathbb N$ a nechť $a$ a $b$ jsou nesoudělná, tedy $(a,b)=1$ . Pak $\frac ab+\frac {14b}{9a}=\frac{9a^2+14b^2}{9ab}$ . Aby tento zlomek byl celé číslo, musí být čitatel dělitelný 9. To bude platit jen tehdy, když $b=3k,\ k\in\mathbb N$ . Pak

$\frac ab+\frac {14b}{9a}=\frac{9a^2+14b^2}{9ab}=\frac{9a^2+14\cdot 9k^2}{9a\cdot 3k}=\frac{a^2+14k^2}{3ak}$ . Protože je jmenovatel dělitelný číslem $a$ , musí být i čitatel dělitelný číslem $a$ . To bude platit tehdy, když $a|14$ nebo $a|k$ . Kdyby pro $a\geq 2$ platilo, že $(a,k)\geq 2$ , bylo by to ve sporu s nesoudělností čísel $a$ a $b$ .

Tudíž pro $a\geq 2$ platí $(a,k)=1$ , a tedy nemůže platit $a|k$ . Pak není jiná možnost než $a=1$ nebo $a|14$ . Tzn. $a\in\{1,2,7,14\}$ .

1. Nechť $a=1$ . Pak

$\frac ab+\frac {14b}{9a}=\dots=\frac{1+14k^2}{3k}$

Protože je jmenovatel dělitelný číslem $k$ , musí platit, že $k|(1+14k^2)$ . To platí jen tehdy, když $k|1$ . To dává hodnotu $k=1$ . Jedno z řešení je

$\Large\red a=1,\ b=3,\ \Rightarrow\ \frac ab+\frac {14b}{9a}=\frac 13+\frac{14}{3}=5.$

2. Nechť $a=2$ . Pak

$\frac ab+\frac {14b}{9a}=\dots=\frac{4+14k^2}{6k}=\frac{2+7k^2}{3k}$

Protože je jmenovatel dělitelný číslem $k$ , musí platit, že $k|(2+k^2)$ . To platí jen tehdy, když $k|2$ .. To spolu s $(a,k)=1$ dává hodnotu $k=1$ .

$\Large\red a=2,\ b=3,\ \Rightarrow\ \frac ab+\frac {14b}{9a}=\frac 23+\frac{7}{3}=3.$

3. Nechť $a=7$ . Pak

$\frac ab+\frac {14b}{9a}=\dots=\frac{49+14k^2}{21k}=\frac{7+2k^2}{3k}$

Protože je jmenovatel dělitelný číslem $k$ , musí platit, že $k|(7+2k^2)$ . To platí jen tehdy, když $k|7$ . To spolu s $(a,k)=1$ dává hodnotu $k=1$ .

$\Large\red a=7,\ b=3,\ \Rightarrow\ \frac ab+\frac {14b}{9a}=\frac 73+\frac{2}{3}=3.$

4. Nechť $a=14$ . Pak

$\frac ab+\frac {14b}{9a}=\dots=\frac{196+14k^2}{42k}=\frac{14+k^2}{3k}$

Protože je jmenovatel dělitelný číslem $k$ , musí platit, že $k|(14+k^2)$ . To platí jen tehdy, když $k|14$ . To spolu s $(a,k)=1$ dává hodnotu $k=1$ .

$\Large\red a=14,\ b=3,\ \Rightarrow\ \frac ab+\frac {14b}{9a}=\frac {14}3+\frac{1}{3}=5.$

Existují tedy 4 řešení, pokud $a$ a $b$ jsou nesoudělná. Pokud by byla soudělná, existovalo by nekonečně mnoho řešení. Řeší-li totiž úlohu čísla $x$ a $y$ , pak ji řeší také čísla $nx$ a $ny$ , $\forall n\in\mathbb N$ .

musixx · 06. 10. 2009 11:01 — Editoval musixx (06. 10. 2009 11:16)

Možná trošku rychleji: $\frac ab+\frac {14b}{9a}=\frac{9a^2+14b^2}{9ab}$ je celé, jen když je čitatel dělitelný:

A) $9$ , což dává $3|b$ ,
B) $b$ , což spolu s $(a,b)=1$ dává $b|9$ ,
C) $a$ , což spolu s $(a,b)=1$ dává $a|14$ .

Kdyby $b=9$ , pak je jmenovatel dělitelný 81, $14b^2$ taktéž, tedy $81|9a^2$ , tedy $3|a$ spor s $(a,b)=1$ . Je tedy $b=3$ , protože hledáme jen kladná řešení.

Stačí prověřit, pro která kladná $a|14$ je $\frac{9a^2+14b^2}{9ab}=\frac{a^2+14}{3a}$ celé (ukáže se, že pro všechna $a\in\{1,2,7,14\}$ ).

EDIT: (s tušením o kongruencích čistě jen pro snažší zápis) Dokonce je jasné, že $a|a^2+14$ , tedy by stačilo prověřovat, kdy $3|a^2+14$ , tedy $3|a^2-1$ , ovšem z $3\not|a$ máme $a^2\equiv1\ ({\rm mod}\ 3)$ , tedy vlastně není co prověřovat, protože $3a|a^2+14$ je zaručeno pro $a|14$ .

Matematické Fórum

#1 03. 10. 2009 19:18

nesudelitelne cisla

#2 06. 10. 2009 10:29 — Editoval Pavel (06. 10. 2009 10:32)

Re: nesudelitelne cisla

#3 06. 10. 2009 11:01 — Editoval musixx (06. 10. 2009 11:16)

Re: nesudelitelne cisla

Zápatí