Matematické Fórum

Roscelinius · 19. 06. 2020 08:11

Dobrý den,
narazil jsem na spor v řešení vnějšího součinu diferenciálních forem.
První vychází z asociativnosti vnějšího součinu, čimž může odstranit závorky ve výrazu (dx_{1} \wedge dx_{2}) \wedge (dx_{3} \wedge dx_{4}). Druhé závorky neodstraní ale hned využije kososymetrie.

máme:
$\omega _{1}=dx_{1} \wedge dx_{2} +dx_{3} \wedge dx_{4}$
hledáme $\omega =\omega _{1}\wedge \omega _{1}$
řešení1:

$\omega =(dx_{1} \wedge dx_{2} +dx_{3} \wedge dx_{4}) \wedge (dx_{1} \wedge dx_{2} +dx_{3} \wedge dx_{4})=$
$=(dx_{1} \wedge dx_{2}) \wedge (dx_{3} \wedge dx_{4}) +(dx_{3} \wedge dx_{4}) \wedge (dx_{1} \wedge dx_{2})=$
$=dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3} \wedge dx_{4} +dx_{3} \wedge dx_{4} \wedge dx_{1} \wedge dx_{2}=$
$=2 dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3} \wedge dx_{4}$

řešení2:

$\omega =(dx_{1} \wedge dx_{2} +dx_{3} \wedge dx_{4}) \wedge (dx_{1} \wedge dx_{2} +dx_{3} \wedge dx_{4})=$
$=(dx_{1} \wedge dx_{2}) \wedge (dx_{3} \wedge dx_{4}) +(dx_{3} \wedge dx_{4}) \wedge (dx_{1} \wedge dx_{2})=$
$=(dx_{1} \wedge dx_{2}) \wedge (dx_{3} \wedge dx_{4}) -(dx_{1} \wedge dx_{2}) \wedge (dx_{3} \wedge dx_{4}) =0$

Znamená to, že jsem špatně použil asociativity v prvním řešení?
Díky petr

Bati · 19. 06. 2020 17:33

$dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3} \wedge dx_{4} +dx_{3} \wedge dx_{4} \wedge dx_{1} \wedge dx_{2}=2 dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3} \wedge dx_{4}$
Tady jsi podle me pouzil komutativitu, ktera neplati

Roscelinius · 19. 06. 2020 22:04

$dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3} \wedge dx_{4} +dx_{3} \wedge dx_{4} \wedge dx_{1} \wedge dx_{2}=$
$dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3} \wedge dx_{4} -dx_{3} \wedge dx_{1} \wedge dx_{4} \wedge dx_{2}=$
$dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3} \wedge dx_{4} +dx_{1} \wedge dx_{3} \wedge dx_{4} \wedge dx_{2}=$
$dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3} \wedge dx_{4} -dx_{1} \wedge dx_{3} \wedge dx_{2} \wedge dx_{4}=$
$dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3} \wedge dx_{4} + dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3} \wedge dx_{4}=$
$2dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3} \wedge dx_{4}$

Matematické Fórum

#1 19. 06. 2020 08:11

Vnější součin

#2 19. 06. 2020 17:33

Re: Vnější součin

#3 19. 06. 2020 22:04

Re: Vnější součin

Zápatí