Matematické Fórum

mikpeta · 27. 06. 2020 09:16

Zdravím, potřeboval bych zkontrolovat, kde mám chybu.

Podle podílového kritéria mi vyšla 1 a pak Raabeovým kritériem, že konverguje.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-06/41875_141.JPG

Podle limitního srovnávacího mi vyšlo, že diverguje.

Podle integrálního kritéria mi vyšlo, že diverguje. Integrál od 1 do nekonečna. Po dosazení nekonečna mi vyšlo (nekonečno*0) + nekonečno)

nejsem_tonda

Ahoj,
pro uplnost napisu, jak vypada Raabeovo kriterium
$\lim_{n\to\infty}n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)$
pricemz rada konverguje pokud ta limita vyjde vetsi nez 1.

Pri pouziti tohoto kriteria musis znovu dosadit opravdu cleny $a_{n+1}$ a $a_n$ . Ty jsi misto toho dosadil uz spocitanou limitu $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$ . Jinymi slovy je to jako kdybys tvrdil
$\lim_{n\to\infty}n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right) = \lim_{n\to\infty}n\left(1-\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)$
coz neni pravda.

EDIT: Nevyjadril jsem se presne. Nedosadil jsi spocitanou limitu, ale vyraz, ktery jsi ziskal v prubehu pocitani limity
$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$ . Konkretne jsi dosadil vyraz $\frac{n}{n+2}$
Svuj prispevek opravuju nize.

mikpeta · 27. 06. 2020 12:49

↑ nejsem_tonda:

Spočítanou limitu? To jako díky tomu, že jsem v prvním zlomku měl neurčitý výraz 0/0 a pravidlem jsem to pak zderivoval?

Jinak když tedy do toho vzorce dosadím ty členy $a_{n+1}$ a $a_n$ , tak dostanu tedy uvnitř zlomek z logaritmama a to pak převedu na společný jmenovatel? Mě tam pak vychází n*(...) a v závorce mám ty logaritmy a zlomky a po dosazení nekonečna mi vyjde n*(0/0) . Zkusím to možná ty úpravy přepsat na papír.

jarrro · 27. 06. 2020 13:24 — Editoval jarrro (27. 06. 2020 13:31)

↑ mikpeta:lebo rovnosť $\lim_{x\to\infty}{$x\(1-\frac{f{\(x+1$}}{f{$x$}}\)\)}=\lim_{x\to\infty}{$x\(1-\frac{\ \frac{\mathrm{d}f{\(x+1$}}{\mathrm{d}x}\ }{\ \frac{\mathrm{d}f{$x$}}{\mathrm{d}x}\ }\)\)}$
Vo všeobecnosti $\color{red}{\text{N E P L A T Í}}$
Resp. Inými slovami $\lim_{n\to\infty}{$n\(1-\frac{n}{n+2}$\)}$ nemá nič spoločné s Raabeho testom pre rad
$\sum_{n=1}^{\infty}{\ln{$1+\frac{1}{n}$}}$

mikpeta · 27. 06. 2020 16:10

↑ jarrro:

Zkusil jsem to takhle teda (limitu k nekonečnu se mi nechtělo pořád vypisovat) mám to n v čitateli dát k tomu logaritmu? Uvnitř logaritmu mi to dá nekonečno/nekonečno ... a z toho pka ln1 = 0....takže n*( 0/0) nebo (n*0) /0 ?

ps..nevím proč je ten obrázek tady otočený.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-06/66978_023.jpg

nejsem_tonda · 27. 06. 2020 16:49

↑ mikpeta:

Spočítanou limitu? To jako díky tomu, že jsem v prvním zlomku měl neurčitý výraz 0/0 a pravidlem jsem to pak zderivoval?

Ano, ty jsi do Raabeho kriteria nedosadil primo $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ , ale uz $\frac{n}{n+2}$ . Cili tve dosazeni je totez jako tvrdit, ze
$\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n}{n+2}$
Jenze ve skutecnosti
$\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}\neq\frac{n}{n+2}$ , plati pouze $\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+2}$

Nebo tez tak, jak pise jarro.

Tvoje posledni fotka je uz zcela spravne a kdybys dopocital tu limitu, tak ti vyjde 1 (podle wolframalpha). Takze Raabeho kriterium v tomto pripade neumi rozhodnout o konvergenci te rady.

mikpeta · 27. 06. 2020 17:25

↑ nejsem_tonda:

Aha, tak to mám zas někde chybu, mě to pořád vychází 2 .
//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-06/71497_024.jpg

nejsem_tonda · 27. 06. 2020 17:42

↑ mikpeta:
Bohuzel. Pouzivas pravidlo pro vypocet limity typu 0/0 na limitu typu $\infty\cdot(0/0)$ .

mikpeta · 27. 06. 2020 18:11

↑ nejsem_tonda:

Takže v čitaeli nechám tu závorku a do jmenovatele dám 1/n ? A pak čitael i jmenovatel zderivuju?

nejsem_tonda

↑ mikpeta:
Ano, tak postupovat muzes. Nicmene nezkousel jsem, jestli to je vhodna cesta pro vypocet teto limity. Precijen citatel je podil logaritmu a jeho derivace bude trochu neprijemna..

mikpeta · 28. 06. 2020 09:21

Jo dobrý, tak už chápu..díky

vanok · 28. 06. 2020 13:14 — Editoval vanok (28. 06. 2020 13:15)

Pozdravujem.
Poznamka.
Preco jednoducho ↑ mikpeta: si nepouzil, ze $\ln{$1+\frac{1}{n}$}=\ln (n+1)-\ln (n)$ ?

mikpeta · 28. 06. 2020 14:35

↑ vanok:

Zdravím,

a ve které části přesně?

krakonoš

↑ mikpeta:
Raabeho kriterium
ln(1+1/n) se chová při n jdoucím do nekonečna jako 1/n, protože 1/n je na pravém okolí nuly.
Podobně ln((n+1)^2/(n*(n+2))) lze zapsat jako ln(1+1/(n(n+2))), tedy se to bude chovat jako 1/n(n+2) když n jde do nekonečna. Tak se dostaneme k limitě výrazu $n^{2}/(n^{2}+2n)$ , kde tato limita bude však rovna jedné, pokud jsem se někde nespletla. Účinné je integrální kriterium s použitím per partes. Nutno však zdůvodnit monotonni funkce ln(1+1/n)

vanok · 28. 06. 2020 15:58 — Editoval vanok (28. 06. 2020 16:01)

Ahoj ↑ mikpeta:,
No ked konstatujes, ze $\sum_{1}^{N}\ln{$1+\frac{1}{n}$}=\sum_{1}^{N}(\ln (n+1)-\ln (n))= \ln (N+1)$ tak tu divergenciu mas okamzite.

krakonoš

↑ mikpeta:
Rovněž lze využít podobné myšlenky jako je v #15, a to, že budeme sledovat součty ln(k+1)-ln(k) , kde k= n až 2n-1, tento součet je roven ln2, takže nebude existovat žádné k, počínaje kterým by šly součty libovolného počtu členů sumy dělat menší než předem zvolené epsilon, nebude tedy splněna Bolzano Cauchyho podmínka pro konvergenci řady.

Matematické Fórum

#1 27. 06. 2020 09:16

Konvergence/divergence nekonečné řady

#2 27. 06. 2020 11:59 — Editoval nejsem_tonda (27. 06. 2020 16:57)

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

#3 27. 06. 2020 12:49

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

#4 27. 06. 2020 13:24 — Editoval jarrro (27. 06. 2020 13:31)

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

#5 27. 06. 2020 16:10

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

#6 27. 06. 2020 16:49

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

#7 27. 06. 2020 17:25

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

#8 27. 06. 2020 17:42

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

#9 27. 06. 2020 18:11

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

#10 28. 06. 2020 00:03 — Editoval nejsem_tonda (28. 06. 2020 00:06)

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

#11 28. 06. 2020 09:21

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

#12 28. 06. 2020 13:14 — Editoval vanok (28. 06. 2020 13:15)

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

#13 28. 06. 2020 14:35

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

#14 28. 06. 2020 15:12 — Editoval krakonoš (28. 06. 2020 22:55)

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

#15 28. 06. 2020 15:58 — Editoval vanok (28. 06. 2020 16:01)

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

#16 28. 06. 2020 18:04 — Editoval krakonoš (28. 06. 2020 18:05)

Re: Konvergence/divergence nekonečné řady

Zápatí